Uchburchak tengsizligi

Uchburchak tengsizligi: isbot, misollar, hal qilingan mashqlar

U deyiladi uchburchak tengsizligi ularning haqiqiy qiymatining yig'indisidan har doim kichik yoki teng bo'lishidan iborat bo'lgan ikkita haqiqiy sonning xususiyatiga. Ushbu xususiyat Minkovskiy tengsizligi yoki uchburchak tengsizligi deb ham nomlanadi.

Raqamlarning bu xususiyati uchburchak tengsizligi deb ataladi, chunki uchburchaklarda bir tomonning uzunligi har doim boshqa ikkisining yig'indisidan kichik yoki unga teng bo'ladi, garchi bu tengsizlik har doim ham uchburchaklar sohasida amal qilmasa ham.

Haqiqiy sonlarda uchburchak tengsizligining bir nechta isboti mavjud, ammo bu holda biz absolyut qiymat va binomiy kvadratning xususiyatlariga asoslanib tanlaymiz.
Teorema: Har bir juft raqam uchun ga Y b haqiqiy raqamlarga tegishli bo'lishi kerak:


| a + b | ≤ | ga | + | b |
Namoyish
Tengsizlikning birinchi a'zosini ko'rib chiqishdan boshlaymiz, u kvadrat shaklida bo'ladi:
| a + b | ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 (1-rasm)
Oldingi bosqichda har qanday sonni kvadratga aylantirilgan kvadrat sonning mutlaq qiymatiga teng bo'lgan xossadan foydalanilgan, ya'ni:| x | ^ 2 = x ^ 2. Kvadrat binomial kengayish ham ishlatilgan.
Barcha raqamlar x uning mutloq qiymatidan kichik yoki unga teng. Agar raqam ijobiy bo'lsa, u teng, ammo agar salbiy bo'lsa, u har doim musbat sondan kam bo'ladi. Bunday holda o'zining mutlaq qiymati, ya'ni buni ta'kidlash mumkin x ≤ | x |.
Mahsulot (a b) raqam, shuning uchun (a b) ≤ | a b |. Ushbu xususiyat (1-tenglama) ga nisbatan qo'llanilganda biz quyidagilarga egamiz:
| a + b | ^ 2 = a ^ 2 + 2 (a b) + b ^ 2-a ^ 2 + 2 | a b | + b ^ 2 (2-tenglama)

Shuni inobatga olgan holda | a b | = | a || b | la (tenglama 2) quyidagicha yozilishi mumkin:

| a + b | ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | a || b | + b ^ 2 (3-tenglama)
Ammo oldin biz sonning kvadrati kvadratning sonining mutlaq qiymatiga teng deb aytganimiz sababli, 3 tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
| a + b | ^ 2 ≤ | a | ^ 2 + 2 | a | | b | + | b | ^ 2 (4-rasm)
Tengsizlikning ikkinchi a'zosida ajoyib mahsulot tan olinadi, bu qo'llanilganda quyidagilarga olib keladi:
| a + b | ^ 2 ≤ (| a | + | b |) ^ 2 (5-rasm)
Oldingi iborada shuni ta'kidlash kerakki, tengsizlikning har ikkala a'zosida kvadratga tushirish kerak bo'lgan qiymatlar ijobiy, shuning uchun ham quyidagilarni qondirish kerak:
| a + b | ≤ (| a | + | b |) (6-rasm)
Yuqoridagi ifodaaynan shu narsani namoyish qilmoqchi edi.