Abstrakt algebra

3.2.2-teorema. Agar G erkin abel gruppasining {a₁, a₂, . . . , a_k} va {b₁, b₂, . . . , b_s}
bazislari berilgan bo‘lsa, u holda k = s bo‘ladi.
Isbot. Dastlab, {a₁, a₂, . . . , a_k} elementlar to‘plami bazis ekanligidan foy-

`

^{G/(2G) ∼}= ^{Z/2Z ⊕ Z/2Z ⊕ · · · ⊕ Z/2Z ∼}= ^Z_{` 2} ^{⊕ Z2} _˛^⊕_¸ ^{· · · ⊕ Z}_x2 ^.

k ta

k ta
^{dalansak, G ∼}= ^{Z ⊕ Z ⊕}_˛¸^{· · · ⊕ Z}_x ^{kelib chiqadi. U holda 2G ∼}= ²_`^{Z ⊕ 2Z} _˛^⊕_¸ ^{· · · ⊕ 2Z}_x

bo‘lib,

` k˛¸ta
^x k ta

Demak, |G/2G| = 2^k. Ikkinchi tomondan esa, {b₁, b₂, . . . , b_s} ham bazis bo‘lganligi uchun |G/2G| = 2^s ekanligini hosil qilamiz. Bundan esa, k = s kelib chiqadi.
Erkin abel gruppasining bazisidagi elementlar soniga gruppaning rangi deb ataladi va rk(G) kabi belgilanadi. Rangi k ga teng bo‘lgan erkin abel gruppasini esa F_k kabi belgilaymiz. Quyida ba’zi zaruriy lemmalarni keltirib o‘tamiz.
3.2.1-lemma. Bizga F_k abel gruppasi va uning {a₁, a₂, . . . , a_k} bazisi berilgan bo‘lsin. Agar F_k gruppadan qandaydir G abel gruppasiga f : F_k → G va g : F_k → G gomomorfizmlar berilgan bo‘lib, f (a_i) = g(a_i), 1 ≤ i ≤ k bo‘lsa, u holda f = g bo‘ladi.

Isbot. Ixtiyoriy x ∈ F_k element uchun x = n₁a₁ + n₂a₂ +· · · + n_ka_k bo‘lganligi uchun
f (x) = f (n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k) = n₁f (a₁) + n₂f (a₂) + · · · + n_kf (a_k)
= n₁g(a₁) + n₂g(a₂) + · · · + n_kg(a_k) = g(x) tenglikdan f = g kelib chiqadi.
^{3.2.2-lemma. Fk ⊕ Fs ∼}= ^Fk+s.
Isbot. Bizga F_k va F_s abel gruppalari berilgan bo‘lib, ularning bazislari mos ravishda {a₁, a₂, . . . , a_k} va {b₁, b₂, . . . , b_s} bo‘lsin. U holda
{a₁, a₂, . . . , a_k, b₁, b₂, . . . , b_s} elementlar to‘plami F_k ⊕F_s gruppaning bazisi bo‘ladi. Haqiqatdan ham, ixtiyoriy x ∈ F_k ⊕ F_s uchun x = y + z, y ∈ F_k, z ∈ F_s bo‘lganligi va
y = n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k, z = m₁b₁ + m₂b₂ + · · · + m_sb_s,
ekanligidan
x = y + z = n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k + m₁b₁ + m₂b₂ + · · · + m_sb_s
kelib chiqadi. Ya’ni F_k ⊕ F_s gruppaning ixtiyoriy elementi
a₁, a₂, . . . , a_k, b₁, b₂, . . . , b_s
elementlarning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi.
Endi bu elementlar to‘plamining chiziqli erkli ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik,
n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k + m₁b₁ + m₂b₂ + · · · + m_sb_s = 0 bo‘lsin. U holda
n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k = −(m₁b₁ + m₂b₂ + · · · + m_sb_s) ∈ F_k ∩ F_s
bo‘lib, ularning nolga teng ekanligi kelib chiqadi. Ya’ni
n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k = 0, m₁b₁ + m₂b₂ + · · · + m_sb_s = 0.
Bundan esa, n₁ = n₂ = · · · = n_k = 0 va m₁ = m₂ = · · · = m_s = 0 kelib chiqadi.
^{Demak, rk(Fk ⊕ Fs) = k + s. Bundan esa, Fk ⊕ Fs ∼}= ^{Fk+s kelib chiqadi.}

′
3.2.3-lemma. Agar G va G^′ abel gruppalari berilgan bo‘lib, f : G → G^′ va g : G^′ → G gomomorfizmlar uchun f ◦ g = 1_G^′ bo‘lsa, ya’ni f ◦ g akslantirish G da ayniy bo‘lsa, u holda quyidagilar o‘rinli:
1) Kerg = {0}.

2. 
   Imf = G^′.
   
3. 
   Kerf ⊕ Img = G.
   

Isbot. 1) Agar y ∈ Kerg bo‘lsa, u holda g(y) = 0 bo‘lib,
y = (f ◦ g)(y) = f (g(y)) = f (0) = 0.
Demak y = 0, ya’ni Kerg = {0}.

2. 
   
   ′
   Agar y ∈ G^′ bo‘lsa, u holda y = (f ◦ g)(y) = f (g(y)) ∈ Img ekanligidan Imf = G kelib chiqadi.
   
3. 
   Ixtiyoriy x ∈ G elementni x = x − g(f (x)) + g(f (x)) deb yozib olsak,
   

f (x − g(f (x))) = f (x) − (f ◦ g)(f (x)) = f (x) − f (x) = 0.
Demak, x − g(f (x)) ∈ Kerf. Ikkinchi tomondan esa, g(f (x)) ∈ Img. Bu esa, ixtiyoriy x ∈ G element x = y + z kabi ifodalanishini bildiradi, bu yerda
y = x − g(f (x)) ∈ Kerf, z = g(f (x)) ∈ Img.
Endi Kerf ∩ Img = {0} ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, a ∈ Kerf ∩ Img bo‘lsin. U holda f (a) = 0 va qandaydir y ∈ G^′ uchun a = g(y). Bundan esa,
a = g(y) = g (f ◦ g)(y) = g f (g(y)) = g(f (z)) = g(0) = 0 kelib chiqadi. Demak, Kerf ∩ Img = 0, ya’ni G = Kerf ⊕ Img.
Biz yuqorida hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan gruppalar har doim ham erkin abel gruppasi bo‘lavermasligini ta’kidlagan edik. Quyidagi teoremada ularning erkin abel gruppasi bo‘lishining zaruriy va yetarlilik shartini keltiramiz.
3.2.3-teorema. Hosil qiluvchilari soni chekli bo‘lgan abel gruppasi erkin abel gruppasi bo‘lishi uchun uning buralishga ega bo‘lmasligi, ya’ni T (G) = {0} bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, G erkin abel gruppasi bo‘lib, {a₁, a₂, . . . , a_k} uning bazisi bo‘lsin. Ixtiyoriy x ∈ T (G) element uchun ord(x) = r, ya’ni rx = 0 va x = n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k. U holda
0 = rx = r(n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k) = (rn₁)a₁ + (rn₂)a₂ + · · · + (rn_k)a_k
bo‘lib, bundan rn_i = 0, 1 ≤ i ≤ k kelib chiqadi. r > 0 ekanligidan n_i = 0 tenglikni olamiz. Bu esa x = 0 ekanligini, ya’ni T (G) = {0} bo‘lishini bildiradi.
Yetarlilik. Aytaylik, G = ⟨a₁, a₂, . . . , a_k⟩, ya’ni hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan abel gruppasi bo‘lib, T (G) = {0} bo‘lsin. U holda bunday gruppalarning erkin abel gruppasi bo‘lishini k ga nisbatan induksiya usuli orqali


^{ko‘rsatamiz. k = 1 bo‘lgan holda G = ⟨a1⟩ ∼}= ^{Z bo‘lib, u erkin abel gruppasi} bo‘ladi. Endi hosil qiluvchi elementlari soni k tadan kam bo‘lgan gruppalar uchun teorema sharti o‘rinli deb faraz qilib, k uchun to‘g‘ri bo‘lishini ko‘rsatamiz. Agar
{a₁, a₂, . . . , a_k} elementlar to‘plami chiziqli erkli bo‘lsa, u holda u bazis bo‘lib, G
^{erkin abel gruppasi bo‘ladi, ya’ni G ∼}= ^Fk.
Faraz qilaylik, {a₁, a₂, . . . , a_k} elementlar to‘plami chiziqli bog‘liq bo‘lsin, ya’ni hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli bo‘lgan n₁, n₂, . . . , n_k butun sonlari topilib,
n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k = 0

bo‘lsin.
Ushbu sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi d = EKUB(n₁, n₂, . . . , n_k)

d
uchun m_i = ⁿⁱ
deb olsak, u holda
d(m₁a₁ + m₂a₂ + · · · + m_ka_k) = 0.

T (G) = 0 va d /= 0 ekanligidan
m₁a₁ + m₂a₂ + · · · + m_ka_k = 0 (3.1)
tenglikni olamiz, bu yerda EKUB(m₁, m₂, . . . , m_k) = 1. Agar m₁ = ±1 bo‘lsa, u holda a₁ = ±(m₂a₂ +· · ·+m_ka_k) bo‘lib, G gruppa k −1 ta hosil qiluvchi elementga ega ekanligini bildiradi. U holda induksiya faraziga ko‘ra G = ⟨a₂, a₃, . . . , a_k⟩ gruppa erkin bo‘ladi. Agar m₁ /= 0 va m₂ = · · · = m_k = 0 bo‘lsa, u holda m₁a₁ = 0 bo‘lib, gruppa buralishga ega bo‘lmaganligi uchun a₁ = 0 bo‘ladi. Ushbu holda ham biz G = ⟨a₂, a₃, . . . , a_k⟩ ekanligini, ya’ni induksiya faraziga ko‘ra uning erkin gruppa bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, kamida ikkita m_i, m_j noldan farqli sonlari mavjud. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda |m₁| ≥ |m₂| > 0 deb olish mumkin. U holda a₂ hosil qiluvchi element o‘rniga a^′₂ + ma₁ element olish hisobiga biz yangi {a₁, a₂^′ , . . . , a_k} hosil qiluvchilarga ega bo‘lamiz. Ushbu hosil qiluvchi elementlarga nisbatan (3.1) tenglik quyidagi shaklga keladi

(m₁ − mm₂)a₁ + m₂a^′₂
+ · · · + m_ka_k = 0.

Ushbu tenglikda m sonini |m₁ − mm₂| < m₂ tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan qilib tanlash mumkin. Demak, a₁ elementning oldidagi koeffitsientni kamaytirish mumkin. Ushbu jarayonni davom ettirib, biz yuqoridagi qaragan holga, ya’ni m₁ = ±1 ga keltirishimiz mumkin. Demak, hosil qiluvchi elementlar chiziqli erkli bo‘ladi, ya’ni G gruppa erkin gruppa bo‘ladi.
Endi biz rangi k ga teng bo‘lgan F_k erkin gruppadan ixtiyoriy G abel gruppaga bo‘lgan gomomorfizmlar haqida to‘xtalib o‘tamiz. Bizga rangi k ga teng bo‘lgan F_k erkin gruppa berilgan bo‘lib, {a₁, a₂, . . . , a_k} uning bazisi bo‘lsin. Ushbu a₁, a₂, . . . , a_k elementlarni G gruppaning b₁, b₂, . . . , b_k elementlariga o‘tkazuvchi ϕ akslantirishni qaraymiz, ya’ni ϕ(a_i) ∈ G.