Affin koordinatalar sistemasini almashtirish

Tekislikda affin va dekart koordinatalar sistemasini almashtirish.

Yo’nalishli tekislikdagi ikki vektor orasidagi burchak.

Tekislikda nol bo’lmagan ikkita va vektorlar berilgan bo’lsa, bu vektorlarni Onuqtaga ko’chirib ni hosil qilamiz, bu yerda . Hosil bo’lgan va nurlar orasida burchak va vektorlar orasidagi burchak deyiladi (24-chizma) va ko’rinishida belgilanadi.
Ixtiyoriy ikkita vektor uchun Orientatsiyalangan tekislikda yo’nalishga ega bo’lgan burchak tushunchasini kiritaylik.
Tekislikda va nol bo’lmagan vektorlar berilgan bo’lsin, agar bu vektorlarni tartiblasak, ya’ni vektorni birinchi vektorni ikkinchi deb olsak , u holda va vektorlar orasidagi burchak yo’nalgan burchak deb aytiladi va ko’rinishida yoziladi.
Agar , vektorlar o’ng bazisni tashkil qilsa, u holda >0 bo’ladi, chap bazisni tashkil qilsa - bo’ladi.
Agar bo’lsa, =0, agar bo’lsa .
Shunday qilib, vektorlar uchun .
2 5-chizmada , vektorlar o’ng bazisni , vektorlar chap bazisni tashkil qiladi. =30⁰, =-90⁰(25-chizma).
Vaholanki, =-
sin =-sin
cos =cos
Affinkoordinatalarsistemasinialmashtirish.
Gometrikobrazlarnisoddalashtirishuchunko’pinchabirkoordinatalarsistemasidanboshqakoordinatalarsistemasigao’tishgato’g’rikeladi. Bu esa bir nuqtaning har xil sistemadagi koordinatalarini bog’lovchi formulalarni topish masalasini keltirib chiqaradi.
Tekislikda ikkita va ( ) affin koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin (27-chizma).
Qulaylik uchun birinchisini eski, ikinchisini yangi affin koordinatalar sistemasi deb olamiz. Bundan tashqari, yangi koordinatalar sistemasining vaziyati eski koordinatalar sistemasiga nisbatan berilgan bo’lsin.
(14.1)
Ta’rifga ko’ra ushbuni yoza olamiz.
(14.2)
Bizning maqsadimiz N nuqtaning eski koordinatalar sistemasidagi koordinatalarini, shu nuqtaning yangi koordinatalar sistemasidagi koordinatalari orqali ifodalashdir.
Vektorlarni qo’shishdagi uchburchak qoidasiga asosan
(26 - chizma).
Bundan, .
(14.2) dan foydalanib,
ga ega bo’lamiz. va vektorlar kollinear emasligidan foydalanib quyidagi
(14.3)
formulani yozamiz. (14.3) formulani affin koordinatalar sistemasini almashtirish formulasi deyiladi. Bu formulaning chap tomonining koeffitsientlaridan quyidagi
(14.4)
matritsani tuzaylik. C’matritsa C matritsani transponirlash natijasida hosil qilingan bo’lib, (14.5)
chunki va vektorlar bazis vektorlar.
(14.3) ni hamma vaqt x’, y’larga nisbatan yechish mumkin. Bu esa Nnuqtaning yangi koordinatalar sistemasidagi x’, y’koordinatalarini shu nuqtaning eski sistemasidagi x, уkoordinatalari orqali ifodalash mumkinligini ko’rsatadi.
Quyidagi xususiy holni qaraymiz:
1. bundan , bo’ladi. Bu topilgan qiymatlarni (14.3) formulaga qo’yib (28-chizma)
(14.6)


koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish formulasiga ega bo’lamiz.

1. 
   bo’lib, bazis vektorlar turlicha bo’lsin (29-chizma), u holda bo’lib,
   

(14.7)
formulaga ega bo’lamiz. гасистемасидаги . ранспонирлашнатижасидатузилганматрицаидейилади.
To’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini almashtirish.
Endi dekart koordinatalar sistemasini almashtirishga to’xtaymiz. Bir to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasidan ikkinchi dekart koordinatalar sistemasiga o’tishda (14.3) formuladan foydalanamiz, lekin o’tish matritsasining ( ) elementlariga qo’shimcha shartlar qo’yiladi.
Tekislikda - eski - yangi dekart koordinatalar sistemasi bo’lsin.
(15.1)
bo’lsin, bu yerda ikki hol o’rinli bo’ladi.

1. 
   Eski va yangi koordinatalar sistemasi bir xil yo’nalishga ega (30-chizma).
   

(6.6) tenglikni navbat bilan va vektorlarga skalyar ko’paytirib quyidagilarga ega bo’lamiz.

topilgan qiymatlarni (14.3) ga qo’yib,
(15.2)
Yo’nalishlari bir xil bo’lgan dekart koordinatalar sistemasini almashtirish formulasiga ega bo’lamiz.

2. 
   Eski va yangi koordinatalar sistemasi turli yo’nalishga ega bo’lsin. (31-chizma).
   

Buni e’tiborga olib, (15.1 6.6) ni va vektorlarga navbati bilan ko’paytirsak, ushbuga ega bo’lamiz.
Topilgan qiymatlarni (6.4) ga qo’yib,
(15.3)
Yo’nalishlari har xil bo’lgan dekart koordinatalar sistemasini almashtirish formulasiga ega bo’lamiz.

2. 
   va (15.3) formulalarni bitta
   

(15.4)
formulaga birlashtirish mumkin, bu yerda , yo’nalishlar bir xil bo’lsa , agar har xil bo’lsa ga teng.
Agar (15.5) da x₀=y₀=0 bo’lsa , u holda
(15.5)
formulani dekart koordinatalar sistemasini O nuqta atrofida burish formulasi deyiladi.
Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1. Ushbu II tartibli tenglamalar bilan berilgan chiziqlar ko’rinishini aniqlang:
1)
2)
Yechish: 1) Tenglamani ko’rinishini o’zgartiramiz:





.
Demak, berilgan tenglama markazi nuqtada joylashgan va radiusi bo’lgan aylanani ifodalaydi.
2. Berilgan tenglamani ko’rinishini o’zgartiramiz:






+25

Demak, berilgan tenglama markazi nuqtada joylashgan va yarim o’qlari bo’lgan ellipsni ifodalaydi.


3. Chiziqning ushbu tenglamasi berilgan:
.
Agar nuqtani yangi sistemaning boshi deb faraz qilib, yangi o’qlar uchun koordinata burchaklarining bissektrisalariga parallel bo’lgan chiziqlar qabul qilinsa, tenglamaning ko’rinishi qanday bo’ladi?
Yechish: Bu masalada yangi sistema boshining eski sistemaga nisbatan koordinatalari va ikkala sistemaning absissa o’qlari orasidagi burchak bo’ladi. Shuning uchun ushbu

formuladan foydalanamiz.

yoki bularni berilgan tenglamaga qo’ysak,
bo’ladi. Buni soddalashtirib,
yoki ni hosil qilamiz.
III.Xulosa
Men bu kurs Ishini yozishda Tekislikda koordinatalar sistemasini almashtirish mavzusi bilan tanishib chiqdim. Matematikaning barcha sohalarida koordinatalarni almashtirish muhim rol o`ynaydi. Shu bilan birga kurs ishini mavzuga doir misollar va masalalar bilanmustahkamladim.
Kurs Ishida Ajoyib egri chiziqlarni barcha turlari bilan tanishib, ularga doir
masalalar bilan ham tanishdim va shu bilan birga II tartibli tenglamalar bilan berilgan chiziqlar ko’rinishini aniqlashga doir masalalar bilan tanishdim.

Analitik geometriya fanining mavzularini, qolaversa, egri chiziqlar nazariyasini o`qitishda

ta’limning zamonaviy usullaridan keng foydalanish, o`quv jarayonini yangi pedagogik
texnalogiyalar asosida tashkil etish o`qitishning asosi hisoblanadi.
“Ta’lim – tarbiya tizimini o`zgartirmasdan turib, ongni o’zgartirib bo`lmaydi.Ongni
tafakkurni o`zgartirmasdan turib esa biz ko`zlagan oliy maqsad – ozod va obod jamiyatni barpo
etib bo`lmaydi”- deydi I.A.Karimov. Men ham prezidentimizning ushbu gaplariga amal qilgan
xolda kelajakda vatanim uchun kerakli kadrlardan biri bo`lmoqchiman.

IV.FOYDALANILGAN ADABIYOTLARRO’YXATI

1. М. А. Собиров, А.Е. Юсупов «Дифференциалгеометриякурси» Т. 1965;
2. А.В. Погорелов. «Геометрия» М. 1983;
3. П. К. Рашевский «Курс дифференциальной геометрии» М. 1956;
4. А.Я. Нарманов «Дифференциал геометрия» Т. 2003;
5. под. Ред. Феденко «Сборник задач по дифференциальной геометрии» М.1979;
6. А.С. Мишенко и др. «Курс дифференциальной геометрии и топологии» М.МГУ.,
1980
7. U. Xojixonov “Differensial geometriya” N., 2007.
8. “Egri chiziqlar” o`quv qo`llanma. Samarqand 1989.

9. Титаренко А.М. Новейший полный справочник школьника 5-11 классы.

Математика. / А.М.Титаренко, А.М. Роганин. - «Эксмо», 2008. – 304 с.
10. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
Учебник для Вузов. Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебника / Беклемишев Д. В. - М.:
Физматлит, 2009. - 309 с.
11. Л.С.Атанасян Геометрия. Ч. 1. М., Просвещение, 1973
12. Атанасян Л. С, Атанасян В. А. Сборник задач по геометрии,
ч. I. M., Просвещение, 1973.
13. Базылев В. Т., Дуничев К. И., И в а н и ц к а я В. П. Геометрия, ч. I.
М., Просвещение, 1974.
14. Dadajonov N., Jo’rayeva M., Geometriya 1 qism, Toshkent “o’qituvchi”
1996