Agar b fazoviy sohaning har bir m nuqtasiga tо„liq aniqlangan φ(M) son

Agar B fazoviy sohaning har bir M nuqtasiga tо„liq aniqlangan φ(M) son
mos qо’yilgan bо’lsa, skalyar maydon berilgan deymiz. Fazoda OXYZ dekart
koordinatlari sistemasi berilgan bо’lsa, skalyar maydon φ=φ(z , y , x) ko’rinishni
oladi. Keyingi mulohazalarimizda B sohadagi φ maydon silliq deb, ya’ni φ
funksiya B sohada о’zining barcha argumentlari bо’yicha uzluksiz xususiy
hosilalarga ega deb faraz qilamiz. Agar skalyar maydon, tayinlangan π tekislikka
perpendikulyar bо’lgan har bir tо’g’ri chiziqdaо’zgarmas qiymat qabul qilsa,
u yassi maydon deyiladi. Dekart koordinatlar sistemasini shunday tanlasakki,
bunda XOY koordinata tekisligi π tekislik bilan ustma-ust tushsa, yassi skalyar
maydon φ=φ(z,y)kо’rinishni oladi. Shuning uchun yassi maydon XOY
tekisligidagi sohada aniqlangan deb tasavvur qilish mu mkin.δ shunday sirt
bо’lsaki, bu sirtning ustiga skalyar maydonning qiymatlari bir hil (о’zgarmas)
bо’lsa, bu sirt sath sirti (yoki ekvipotentsial sirt) deyiladi. Sath sirti
φ(M)=C ( C-const) (1)
tenglama bilan aniqlanadi. Yassi maydon uchun (1) tenglama (agar u π tekislikda
qaralsa) sath chizig’ini aniqlaydi.M₀ nuqtadan о’tadigan sath sirti
φ(M)= φ(M₀)
tenglama bilan aniqlanadi.
Skalyar maydonning gradienti
φ(M) skalyar maydon dekart koordinatalar sistemasida φ=φ(z , y , x) tenglama
bilan berilgan bо’lsin.
grad φ(M)=dφ/dx*i+dφ/dy*j+ dφ/dz*k (2)

vektor bu maydonning gradiyenti deyiladi, bunda xususiy hosilalar M nuqtada

hisoblanadi. Shunday qilib, (2) formula, φ(M) skalyar maydon aniqlangan har bir
M nuqtaga, gradφ(M)vektorni mos qо’yadi.
Yо‘nalish buyicha hosila.
φ(M) skalyar maydonning M nuqtadagi, shu M nuqtadan о’tuvchi l yо’nalish
bо’yicha hosilasi deb
𝜕𝜑/𝜕𝑙= lim_{∆𝑙 →𝑜}∆𝜑/∆𝑙
limitga aytiladi, bunda ∆𝜑 = 𝜑(𝑀′)− 𝜑 М - skalyar maydonning M nuqtadan
𝑀′ nuqtaga о„tishdagi orttirmasi,
∆𝑙 = 𝑀 𝑀′. 𝜕𝜑/𝜕𝑙 hosila 𝜑 maydonning M nuqtadagi l yо’nalish bо’ylab о’zgarish
tezligini ifodalaydi va
𝜕𝜑/𝜕𝑙 =τ.grad φ(M) (3)
formula bilan hisoblanadi, bunda τ –l yо’nalishining orti (birlik vektori).
φ(M) skalyar maydonning M nuqtadagi, l chiziq bо’ylab olingan hosilasi deb
𝜕𝜑/𝜕𝑠= lim_{∆𝑠→𝑜}∆𝜑/∆𝑠
limitga aytiladi, bunda ∆𝜑 – skalyar maydonning 𝑙 chiziq
bо’yicha orttirmasi, ∆𝑠 esa yoy orttirmasi 𝑙 chiziq bо’yicha xususiy hosila
𝜕𝜑/𝜕𝑠=τ(M)*grad φ(M) (4)
formula bilan hisoblanadi, bunda τ(M)- chiziqning M nuqtasiga о’tkazilgan

urinmaning birlik vektori. (3) va (4) formulalarni taqqoslab, shunday xulosaga

kelamizki, φ(M) maydonning 𝑙 chiziq bо’ylab M nuqtadagi hosilasi, uning 𝑙
chiziqqa shu nuqtada о’tkazilgan urinma bо’yicha olingan hosilasi bilan ustmaust
tushadi. Dekart koordinatalarida
τ=icosα + jcosβ
bunda β α ,lar l yо’nalishning koordinata о„qlari bilan hosil qilgan burchaklari.