Agar funksiyada

§ 11.2. Bir jinsli vа birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Agar funksiyada x va y o’zgaruvchilarni mos ravishda va ga almashtirilganda (bu yerda t – ixtiyoriy parametr) shart bajarilsa, funksiya n o’lchovli bir jinsli funksiya deb ataladi. funksiya bir o’lchovli bir jinsli funksiyadir, chunki .Ushbu funksiya nol o’lchovli bir jinsli funksiya, chunki yoki . shartga bo’ysunadigan nol o’lchovli bir jinsli funksiyani ko’rinishda yozish mumkin. (11.4) ko’rinishdagi tenglama M va N funksiyalar x va y ning bir xil o’lchovli bir jinsli funksiyalari bo’lganda, bir jinsli tenglama deyiladi. Bu tenglamani ko’rinishga keltirib, yoki almashtirish bilan yechiladi.

Haqiqat almashtirish bajarilsa, , yoki ba’zi bir almashtirishlar bajarilgandan so’ng ko’rinishdagi tenglamaga kelamiz. Oxirgi tenglamani integrallab integralni olamiz.
Differensial tenglama ko’rinishda bo’lsa, bir jinsli tenglamaga olib kelish uchun yoki to’g’ri chiziqlarni kesishish nuqtasiga koordinata boshi olib kelinadi. Agar to’g’ri chiziqlar kesishmasa, ya’ni va bir-biriga proporsional bo’lsa, u holda almashtirish bajariladi.
8. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama. Noma’lum funksiya ham uning hosilasi ham faqat birinchi darajada qatnashgan differensial tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi. Uning umumiy ko’rinishi quyidagicha bo’ladi.
(11.7)
bu yerda va funksiyalar x ning uzluksiz funksiyalar. Agar bo’lsa, (11.7) differensial tenglama bir jinsli, aks holda bir jinsli bo’lmagan differensial tenglama deyiladi. Bu (11.7) tenglamaning yechimi ni ko’rinishda izlanadi. Bu yerda va bo’ladi, ya’ni
(11.8)
(11.8) ni (11.7) ga qo’ysak, yoki
yoki funksiyalarning birini ixtiyoriy tanlash mumkinligi hisobiga, funksiyani
(11.9)
ko’rinishda olish mumkin. U holda
(11.10)
ham o’rinli bo’ladi. (11.9) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin
,
bundan va
funksiyani bunday tanlab olganimizda (11.10) tenglama ushbu ko’rinishga ega bo’ladi:
(11.11)
(11.11) ni integrallab, va nihoyat
(11.12)
Oxirgi (11.12) funksiya (11.7) chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.
9. Bernulli tenglamasi. (11.13) chiziqli tenglamaga o’xshash almashtirish bilan yoki ixtiyoriy o’zgarmasni variatsiya qilish bilan yechiladi. Bernulli tenglamasi almashtirsh natijasida chiziqli tenglamaga keltiriladi, ya’ni
.
(11.13) tenglama da chiziqli tenglamaga keladi, da esa o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keladi.

“A” guruh

Quyidagi bir jinsli differensial tenglamalarning umumiy yechimitopilsin.
11.51. а) в) 11.52.
11.53. 11.54.
11.55. 11.56.
11.57. 11.58.
11.59. 11.60.
11.61. 11.62.
11.63. 11.64.
11.65. а) в) 11.66.
11.67.а) в) 11.68.
11.69. 11.70.

“B” guruh

Berilgan boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi differensial tenglamalarning xususiy yechimini toping.
11.71. а) , в)
11.72.
11.73. а) в)
11.74.


Quyidagi chiziqli differensial tenglamalarning yechimi topilsin.
11.75. 11.76
11.77. 11.78.
11.79. 11.80.
11.81. 11.82.
11.83. 11.84.
11.85. 11.86.
11.87. 11.88.
11.89. 11.90.

“C” guruh

Quyidagi differensial tenglamalar yechilsin.
11.91. 11.92.
11.93. 11.94.
11.95. 11.96.
11.97. 11.98.
11.99. 11.100.
Bernulli tenglamalarini yeching.
11.101. а) в)
11.102.а) в)
11.103. 11.104.
11.105. 11.106.
11.107. 11.108.
11.109. 11.110. а) b)