7-Mavzu: Ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalar. Ko’rsatkichli tenglamalar haqida

7-Mavzu: Ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalar.
Ko’rsatkichli tenglamalar haqida.
Haqiqiy son ko’rsatkichli daraja quyidagi xossalarga ega ( a>0,a
Daraja va uning xossalari.
1) 4)
2) 5)
3)
6)Agar 0 < a < b va x > 0 bo’lsa ,
7)Agar 0 < a < b va x < 0 bo’lsa ,
8) Agar x < y va a > 1 bo’lsa ,
9)Agar x < y va 0 < a < 1 bo’lsa ,
1-misol.Taqqoslang: .
7-xossaga ko’ra 0 < 2 < 3 va bo’lgani uchun .
2-misol.Taqqoslang: .
9-xossaga ko’ra 0,2 < 0,3 bo’lgani uchun .
Ko’rsatkichli funksiya va uning xossalari.
ko’rinishdagi funksiya ko’rsatkichli funksiya deyiladi.
Bunday funksiya quyidagi xossalarga ega :
1)aniqlanish sohasi oraliqdan iborat;
2)qiymatlar sohasi oraliqdan iborat;
3)barcha uchun
4) bo’lsa , funksiya o’suvchi;
5) bo’lsa , funksiya kamayuvchidir.

Ko’rsatkichli tenglamalarni yechish usullari.

1-usul.Umumiy asosga keltirish usuli .
1-misol. tenglamani yeching.
Yechilishi.


Javob :
2-usul.Ko’paytuvchilarga ajratish usuli.
2-misol. tenglamani yeching.
Yechilishi.

Javob : 3.
3-usul.Kvadrat tenglamaga keltirish usuli.
Ushbu ko’rinishdagi tenglama ( bunda A,B,C – haqiqiy sonlar) almashtirish orqali kvadrat tenglamaga keltiriladi.
3-misol. tenglamani yeching.
Yechilishi. almashtirishni tekshiramiz.U holda

Qabul qilingan almashtirishlarni hisobga olsak,


Javob : {0;1}.


Logarifmik tenglamalar.
Sonning logarifmi.Biz bilamizki , ko’rinishdagi tenglamani yechishning asosiy usuli uning chap va o’ng qismlarini ayni bir asosli daraja ko’rinishida ifodalay olishdan iborat .Lekin buning har doim ham iloji bo’lavermaydi.Masalan va hokazo.Biroq bunday tenglamalar ildizga ega ekanligini bilamiz .Bunday tenglamalarni yechish uchun sonning logarifmi tushunchasi kiritiladi.Ildizi esa b sonining a asosga ko’ra logarifmi , deb ataladi va kabi belgilanadi.
Ta’rif : b musbat sonning a asosga ko’ra ( logarifmi deb b sonni hosil qilish uchun a sonni ko’tarish kerak bo’lgan daraja ko’rsatkichiga aytiladi.
Masalan, chunki
chunki , chunki
, chunki
Logarifmning ta’rifini
Tenglik bilan yozish mumkin.Bu tenglik bo’lganda o’rinli bo’lib , asosiy logarifmik ayniyat deb ataladi.
Sonning logarifmini topish amalini logarifmik amal deb ataladi.
Sonning logarifmini topishga doir bir nechta misollar keltiramiz.
1-misol. , ni hisoblang.
Yechilishi.Logarifmning ta’rifiga ko’ra daraja ko’rsatkichi bo’lganligi uchun shu daraja ko’rsatkichini x deb belgilaymiz:

U holda ta’rifga ko’ra
.
Hosil bo’lgan ko’rsatkichli tenglamani yechamiz:

Shunday qilib ,
Javob :-6.
Logarifmning xossalari.Logarifmlar ishtirok etgan ifodalardagi almashtirishlarda hisoblashlarda , tenglama va tengsizliklarni yechishda logarifmlarning turli xossalaridan foydalaniladi.Shu xossalarning asosiylarini keltiramiz.
1.Faqat musbat sonlarninglogarifmi mavjud , ya’ni ( bunda bo’lsagina mavjud.
2.Asos bo’lsa sonlarning logarifmlari musbat , sonlarning logarifmlari manfiy . Masalan,