Айирмали методларни хосил қилиш учун бошқача ёндашиш хъам мумкин

ди, маълум пайтдан бошлаб хато яна ўсиб боради, чунки ни кичрайтирган сари нинг миқдори ошиб боради. Шунинг учун хам нинг шундай оптимал қийматини топиш мумкинки, бу қийматда (4.67) нинг ўнг томони энг кичик бўлади. Кўпол қилиб айтганда, бу оптимал қиймат шунга олиб келадики, хатоликнинг учала қисми бир-бирига тенг бўлиши керак. Агар биз (4.67) нинг унг томонини яна хам камайтирмоқчи бўлсак, у холда хисоблаш аниқлиги ни оширишимиз керак. Агар ва бўлса, у холда (4.67) бахога кўра хисоблаш жараёни тартибдаги тезликда аниқ ечимга текис яқинлашади.
Шуни яна бир бор таъкидлаш керакки, (4.67) бахо яқинлашишни таъминлаши учун (4.52) айирмали метод учун турғунлик шартлари бажарилиши керак. Агар бу шартлар бузилса, у холда да (4.67) тенгсизликнинг ўнг томони даражали ёки кӱрсаткич функциядек чексиз ўсиб боради.
Кўпинча турғун хисоблаш методлари орасида катъий турғун меmодлари ажратилади. Бундай методлар учун яна бир кӱшимча талаб кўй илади: айланада фақат битта илдиз ётиши керак. Тадқиқотлар шуни кўрсатадики, қатъий турғун жараёнларнинг яқинлашиш рафтори анча яхши бўлади.
Юқорида кўрилган Адамснинг барча методлари қатъий турғундир, чунки характеристик тенглама бирга тенг бўлган битта туб илдизга ва нолга тенг бўлган -каррали илдизга эга.
Айирмали методларни хосил қилиш учун бошқача ёндашиш хъам мумкин.
Мисол учун ушбу

тенгликни кўрайлик. Бундаги интегрални тақрибий равишда СимгІсон квадратур формуласи билан алмаштирсак,

хисоблаш қоидасига эга бўламиз. Биз биламизки, бу методнинг (Симпсон квадратур формуласининг) қолдиқ хади қуйидагига тенг:

Бу метод учун характеристик тенглама бўлиб, унинг илдизлари . Шунинг учун хৃа (4.68) метод турғун, аммо қатъий турғун эмас.


эса қатъий турғундир.
Биз 7-боб 12-§ да аниқмас интегралларни тақрибий хисоблаш учун

методни кўрган эдик. Бу метод учун характеристик тенглама бўлиб, унинг илдизлари ва эса илдизлар шартини қаноатлантирмайди. Шунинг учун хам бу метод турғун эмас ва хисоблаш учун ярамайди.
Турғун ва қатъий турғун такрибий методларнинг фарқини яхши тушуниш учун бир мисол кўрамиз. Осонлик билан кўриш мумКИНКИ,

тенгламанинг аниқ ечими

бўлиб, бу ечим дастлабки шартга нисбатан турғундир, яъни дастлабки қийматнинг кичик миқдорда ўзгариши да ечимнинг кичик миқдорда ўзгаришига олиб келади. Хақиқатан хам, дастлабки шартни га алмаштирсак, у холда ечим

кўриниигг эга бўлиб, фақат га ўзгаради.
Энди (4.1) дифференциал масалага (4.68) Симпсон формуласини кӱллаймиз, у хெлда

ёки

формула хосил бўлади. Бу ерда сифатида дастлабки шартни оламиз. Аммо (4.71) метод икки қадамли бўлганлиги сабабли хисобни бошлаш учун нинг қийматини бериш керак. нинг қиймати сифатида (4.70) аниқ ечимнинг даги қийматини оламиз, яъни

Биз (4.71) ва (4.72) ларни бирлаштириб, ушбу

айирмали масала ечимининг рафторини текширамиз. Бу масалага мос келадиган характеристик тенглама

нинг ечимлари

дан иборат. Бундан кўрамизки, (4.73) га мос келадиган

бир жинсли тенгламанинг умумий ечими

бўлиб, осонлик билан кўриш мумкинки, (4.73) айирмали тенгламанинг хусусий ечими бўлади. Шунинг учун хам (4.73) айирмали тенгламанинг умумий ечими

бўлади. Номаълум ва коэффициентларни топиш учун дастлабки шартлардан фойдаланамиз:

Бу тенгламаларни ечиб,

ларни хосил қиламиз. Шундай қилиб, (4.73) айирмали масаланинг ечими

бўлади.
Ечимнинг бу кўринишидан унинг даги рафторини осонлик билан аниқлаш мумкин. Хақиқатан хам, кўриниб турибдики, хар қандай белгиланган етарлича кичик учун

Демак, да (4.75) даги биринчи хад нолга интилиб, иккинчиси чексизга интилади. (4.69) масаланинг (4.70) аниқ ечими да 0,5 га интилади. Равшанки, тақрибий ечимнинг хатолиги чексизга интилади ва (4.73) методнинг (4.69) масалага кўлланилиши нотурғундир. Шуни хам таъкидлаш керакки, хатоликнинг бундай ўсиши яхлитлаш хатолиги билан боғлиқ эмас, чунки (4.75) формула нинг аниқ математик ифодаси бўлиб, (4.73) формулада хисоблаш рационал сонлар устида олиб борилса, хосил қилинган қийматлар (4.75) формула ёрдамида хисобланган қиймат билан устмауст тушиши керак. Бунинг сабаби (4.68) методнинг турғун, аммо қатъий турғун бўлмаганлигидадир. Айнан мана шу қатъий турғунликнинг йўқлиги нинг рафторини аниқлайди. Буни куйидагича тушунтириш мумкин: (4.73) айирмали тенгламада лар қатнашганлиги учун у иккинчи тартибли айирмали тенгламадир, шунинг учун хам у иккита ва фундаментал ечимга эга. (4.73) формула ёрдамида курилган кетма-кетлик битта фундаментал ечимга эга бўлган биринчи тартибли дифференıиал тенглама ечимини аппроксимациялаш мақсадида қурилади. Дифференциал тенгламанинг бу фундаментал ечими кетма-кетлиги билан аппроксимацияланади, кетма-кетлик эса «зарарли» бўлиб, тез нолга интилиши керак. Аммо хар қандай coн учун бўлиб, нолга интилмасдан, тебраниб чексизга интила- ди ва нотурғунликнинг келиб чикиџига сабаб бўлади. Шџнџ таькидлаші керакки, да ва турғунлик кӱıхадининг


кўпхадга айланади. Бу ерда қатъий турғунликнинг зарурлиги яқкол кўринади. Агар характеристик кўпхаднинг биттасидан таш қари қолган хамма илдизлари абсолют қий мати билан бирдан киЧик бўлса, у холда бу «зарарли»илдизларнинг даражалари айирмали тенгламанинг ечими булиб, да нолга интилади ва нотурғунлик холати пайдо бўлмайди.
Биз кўриб чиқҚан турғунлик даги турғунликдир. Келтирилган мисол кӱрсатадики, метод турғун, аммо қатъий турғун бўлмаса, исталганча кичик учун нотурғунликка олиб келади.