Аксиоматика натуральных чисел содержание

Аксиомы натуральных чисел

Мы рассматриваем множество  объектов называемых натуральными числами. Одно из натуральных чисел называется нулём и обозначается 0 . Для любого натурального числа n одно из натуральных чисел называется следующим за числом n и обозначается n' .
Множество натуральных чисел таково, что удовлетворяет следующим аксиомам:
Аксиома 1. Для любого натурального числа n: n' 0.
Аксиома 2. Для любых натуральных чисел m и n: если m'=n', то m = n.
Аксиома 3. Пусть A является подмножеством множества  со следующими свойствами:
0  A;
для любого натурального числа n: если n  A, то n'  A.
Тогда A = .
Эти аксиомы были введены Джузеппе Пеано в 1889 году.
Условия 1 и 2 аксиомы 3 являются ``базисом'' и ``индуктивным шагом''. Аксиома 3, которая служит для построения доказательств подобных этому, называется аксиомой индукции.
Определение 1 (Сумма).
Так, для любых натуральных чисел m и n:
m + 0 = m,
m + n'= (m + n)'.
Определение 2 (Порядок). Мы пишем m  n , если для некоторого k: n = m + k.
Определение 3. Мы пишем m < n , если m  n и m  n.
Определение 4 (Наименьший элемент). Элемент n множества A натуральных чисел называется его наименьшим элементом, если для любого элемента m из A n  m.
Определение 5 (Произведение).
Так, для любых натуральных чисел m и n
m · 0 = 0,
m · (n + 1) = (m · n) + m.
Определение 6 (Система Пеано). Тройка <, a, s> , где  – множество, a – элемент из , а s – функция из  в  называется системой Пеано, если
для любого x : s(x)  a,
для любых x, y : если s(x) = s(y), то x = y,
для любого подмножества A множества  если
a  A и
s(x)  A всегда, когда x  A,
тогда A = .
Используя это определение, аксиомы 1–3 можно сформулировать кратко, сказав, что тройка <, 0, s₀>, где s₀ обозначает функцию следования^*, является системой Пеано.
В этом смысле аксиомы 1–3 дают полную характеристику натуральных чисел.