Аксиоматика натуральных чисел содержание
Download 72.88 Kb.
|
Аксиоматика натуральных чисел
Вычитание. Вычесть число b из числа а - значит найти, если это возможно, такое число х, что b + х = а. Возможность вычитания связана с отношением порядка следующим законом: b можно вычесть из а тогда и только тогда, когда b меньше а. Из первого закона сокращения следует, что если вычитание возможно, то результат единственен; действительно, если b + х = а и b + у = а, то х = у. Результат вычитания b из а обозначается а - b. Правила действий со знаком минус, например а - (b - с) = а- b + с, вытекают из определения вычитания и коммутативного и ассоциативного законов сложения.
Деление. Разделить число а на число b значит найти, если это возможно, такое число ж, что bх= а. Если такое число существует, то оно обозначается а/b. Из второго закона сокращения следует, что если деление возможно, то результат единственен. Все вышеупомянутые законы довольно очевидны, если сложение и умножение понимать как действия над совокупностями некоторых предметов. Например, коммутативный закон умножения становится очевидным, если рассмотреть прямоугольную таблицу (рис. 1), в которой предметы расположены в b столбцов и а строк; число предметов в ней равно ab или bа. Дистрибутивный закон очевиден, если рассматривать совокупность предметов на рис.2; в этой совокупности имеется a(b + с) предметов, их число складывается из ab и ас предметов. Несколько менее очевидным, возможно, является ассоциативный закон умножения, утверждающий, что а(bс) = (аb)с. Чтобы сделать ясным и этот закон, рассмотрим прямоугольник, изображенный на рис. 1, заменив в нем каждый предмет числом с. Тогда сумма всех чисел в каждой строке равна bс; так как имеется а строк, то полная сумма равна а(bс). С другой стороны, имеется ab чисел, каждое из которых равно с, поэтому полная сумма есть (ab)c. Значит, a(bс) = (a,b)с, что и требуется доказать. Законы арифметики имеете с принципом индукции (который рассмотрен далее) образуют основу для логического развития теории чисел. Они дают возможность доказывать общие теоремы о натуральных числах, не возвращаясь к исходным значениям чисел и операций над ними. Правда, некоторые довольно глубокие результаты теории чисел проще всего получить, подсчитав определенное число предметов двумя различными способами, но таких результатов не очень много. Download 72.88 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling