Аксиоматика натуральных чисел содержание
Download 72.88 Kb.
|
Аксиоматика натуральных чисел
Простые числаОчевидно, что каждое натуральное число а делится на 1 (отношение равно а) и на а (отношение равно 1). Множитель а, отличный от 1 или а, называется собственным множителем. Известно, что существуют числа, не имеющие собственных множителей; они называются простыми числами или простыми. Первые несколько простых таковы: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... Считать ли простым числом 1 вопрос соглашения, но удобнее 1 не считать простым. Число, не являющееся простым и не равное 1, называется составным, такое число можно представить в виде произведения двух чисел, каждое из которых больше 1. Хорошо известно, что любое составное число можно представить в виде произведения простых; при этом, конечно, некоторые простые могут встретиться по нескольку раз. Возьмем, например, число 666; ясно, что оно делится на 2, и мы получаем 666 = 2 • 333. Далее, 333 имеет очевидный множитель 3, откуда 333 = 3• 111. Множитель 111 снова делится на 3, так что 111 = 3 • 37. Следовательно, 666 = 2 • 3 • 3 • 37, и мы получили представление составного числа 666 в виде произведения простых. Имеется общая теорема о том, что каждое число представимо в виде произведения простых, или, что то же самое, любое число, большее 1, является простым либо разлагается в произведение простых. Для доказательства этого общего утверждения воспользуемся методом индукции. Докажем утверждение для числа n, считая, что оно уже доказано для любого числа, меньшего n. Если n простое, доказывать нечего. Если n составное, то его можно представить в виде произведения аb, где a и b больше 1 и меньше n. Мы уже знаем, что числа а и b или являются простыми, или разлагаются в произведение простых; подставив их разложения в равенство n = аb, получаем разложение n на простые множители. Это доказательство столь просто, что может показаться читателю совершенно излишним. Другая общая теорема о разложении на простые будет доказываться уже не так просто. Ряд простых 2, 3, 5, 7, ... издавна интересовал людей. В дальнейшем мы сформулируем некоторые из полученных в этом направлении результатов. В настоящий момент мы ограничимся доказательством того, что ряд простых бесконечен. Это доказательство Евклида (книга IX, предложение 20) может служить образцом изящества и простоты. Пусть 2, 3, 5, ..., Р — ряд простых до некоторого простого Р. Рассмотрим произведение всех этих простых, добавим к нему 1 и положим N =2•3•5,...P+1. Это число не может делиться на 2, так как если бы оно делилось на 2, то и 2•3•5 ... Р, а потому и разность N- 2•3•5 ... Р делились бы на 2. Но разность этих чисел равна 1 и на 2 не делится. Аналогично убеждаемся в том, что N не может делиться на 3, на 5 и вообще ни на какое другое простое вплоть до Р. С другой стороны, N должно делиться на какое-нибудь простое (на само себя, если N простое, или на любой простой делитель N, если N составное). Следовательно, существует простое число, отличное от любого из простых 2, 3, 5, ..., Р и потому большее Р. Таким образом, ряд простых оборваться не может. Download 72.88 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling