Akslantirishlar va ularning xossalari

Teorema. (monomorfizm teoremasi) . Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va akslantirish chiziqli akslantirishni tashkil etsin. va f monomorfizm. Shuningdek, f monomorfizm bo’lsa, bo’ladi.
Isbot. Haqiqatdan ham, agar f monomorfizm bo’lsa, dan ekanligi kelib chiqadi. x A da nol bo’lmagan element, demak, .
Aytaylik, va bo’lsin, bundan ekanligi ma’lum bo’ladi va , . Bundan kelib chiqadiki . Bu isbotdan f inyektiv va monomorfizmdir. Nihoyat, f monomorfizm bo’lsa, bo’ladi.
Natija. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va monomorfizm bo’lsin. Agar M A da chiziqli erkli qism to’plam bo’lsa, V da chiziqli erkli qism to’lam tashkil etadi.
Isbot. Aytaylik, ga finit qism to’plam bo’lsin. R M dagi qism to’plam uchun bo’ladi. ni chiziqli erkli ekanini ko’ramiz, va ekanligidan kelib chiqadi. 5-teoremaga ko’ra
,
teoremaga ko’ra bo’ladi, bundan kelib chiqadi. 5-teoremaga ko’ra R chiziqli erkli qism to’plam va shuning uchun bo’ladi. 5-teoremadan foydalanib S ni chiziqli erkli ekanligini va ni ham chiziqli erkli ekanini ko’ramiz.
1-Natija. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va monomorfizm bo’lsin. U holda A, V ni finit o’lchamlaridan kelib chiqadi.
Isbot. Aytaylik X A da finit bazis tashlikil etsin. 1- natijaga ko’ra V da chiziqli erkli qism to’plam tashkil etadi. teoremaga asosan, uchun yasovchi, demak, uchun bazis tashkil etadi. teoremadan, va f inyektiv,
5.1.7 Teorema. (Epimorfizm teoremasi) Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va epimorfizm bo’lsin. U holda V fazo faktor fazoga izomorf bo’ladi.