Актуальность и востребованность темы диссертации

Степень изученности темы. До середины XX века практически все научные работы в области естествознания были направлены на решение прямых задач. Первые публикации по обратным задачам были связаны с физикой (квантовой теорией рассеяния, электродинамикой, акустикой), геофизикой (электроразведкой, сейсмикой, магниторазведкой), астрономией и др. Это можно объяснить тем, что свойства среды, которые в прямых задачах считаются заданными величинами, на практике довольно часто оказываются неизвестными. Так, искомыми функциями в обратных задачах могут быть плотность, электропроводность, теплопроводность, скорость распространения волн и другие характеристики среды. Математически это означает, что требуется определить либо коэффициенты уравнений, либо начальные или граничные условия, либо местоположение, границы и другие свойства области, в которой идет изучаемый процесс. Вместе с тем, решение прямой задачи, как правило, остается также неизвестным. Поэтому важным моментом в постановке и решении обратных задач является возможность иметь некоторую дополнительную информацию о решении прямой задачи (измерения), например, измерения внутри области или на ее границе, спектральные либо кинематические характеристики процесса или так называемые "финальные наблюдения"). В частности, в динамических обратных задачах, представленных в данной работе, в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи (измерения поля смещений) на некоторой, как правило времениподобной, поверхности.
Следует отметить, что предвестниками создания теории обратных задач послужили работы советского астрофизика, астронома В. А. Амбарцумяна Am1. Он впервые обратил внимание на обратные задачи спектрального анализа дифференциальных операторов и на их актуальность и важность для приложений. Важную роль затем сыграла фундаментальная работа Г. Борга Bo, основной результат которой — теорема единственности для восстановления потенциала по двум спектрам. Другую интерпретацию результатов Г. Борга предложил Н. Левинсон Le. А. Н. Тихонов T2 показал, что потенциал при некоторых дополнительных условиях восстанавливается однозначно по функции Вейля–Титчмарша. Теория этих задач впоследствии была развита в работах М. Г. Крейна K11, В. А. Марченко M5, И. М. Гельфанда G1, Б. М. Левитана L9.
К спектральным постановкам можно отнести и такие обратные задачи, в которых в качестве дополнительной информации задается преобразование Фурье (по временной переменной) решения соответствующей прямой задачи для гиперболического уравнения. Здесь следует упомянуть работы А. С. Алексеева, Г. М. Жерняка, А. Н. Кремлева, В. А. Чеверды, Д. Коэна и Н. Блайстайна (более подробно данный вопрос излагается в обзорной статье R4).
Спектральная обратная задача связана с обратной задачей рассеяния, которая возникла в квантовой физике. Обратная задача рассеяния была применена В. Е. Захаровым, С. П. Новиковым и А. Б. Шабатом Z1,Z2 (“метод обратной задачи”) для решения нелинейных уравнений математической физики (уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение Шредингера (определение потенциала), уравнение Кадомцева-Петвиашвили и др.).
Одномерная задача (искомая функция зависит от одной переменной) была изучена в 50-х годах прошлего столетия И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном G2, М. Г. Крейном K12, В. А. Марченко M4. Первый результат для многомерной обратной задачи (зависимость от нескольких переменных), связанной с уравнением Шредингера, был получен Ю. М. Березанским B11. Им установлена теорема единственности восстановления потенциала в классе кусочно-аналитических функций по спектральной функции дифференциального оператора. Затем эта задача, и близкие к ней, рассматривались многими исследователями в работах N5,R3, F1–F3, P1,P2,R4,H1, Ch3,Ch4, Es1, Ne,No2,No3,Fa.
Обратные задачи в большинстве случаев некорректны (или плохо поставлены), т. е. в них нарушено хотя бы одно из трех условий корректности задач математической физики (по Ж. Адамару) – условие существования, единственности и устойчивости решения по отношению к малым вариациям данных задачи L3,RR6,T3. Но, необходимость решения именно некорректных задач разведочной геофизики позволила создать А. Н. Тихонову T1,T3,T4 и его последователям М. М. Лаврентьеву L2,L3 и В. К. Иванову I2–I5 основы теории обратных и некорректных задач.
Важное направление в теории обратных задач – обратные задачи разведочной геофизики. Они являются близкими к теме работы. Здесь следует упомянуть первые публикации А. С. Алексеева и С. В. Гольдина A3–A6, G6. Результаты этих ученых по применению в геофизике спектральной теории обратных задач и интегральной геометрии стали фундаментом многих геофизических методов (обратные кинематические и динамические задачи сейсмики). В частности, А. С. Алексеев A3,A4 впервые исследовал одномерную обратную задачу определения плотности для системы уравнений изотропной упругости в полупространстве.
Развивая данное направление, М. М. Лаврентьев и В. Г. Романов разработали методы исследований различных постановок обратных задач для уравнений гиперболического типа. Например, в работах В. Г. Романова RR1, RR6, RR22, RR24 изучены обратные динамические задачи для систем гиперболических уравнений. Разработанная им методика доказательства локальных теорем существования и единственности решения, а также теорем единственности и условной устойчивости “в целом” была применена для исследования широкого круга обратных задач С. П. Белинским B4, В. Г. Яхно Ya1–Ya3, С. И. Кабанихиным K1–K7, Т. П. Пухначевой P4, А. И. Прилепко, Д. Г. Орловского, А. Д. Иванкова P3.
Различные постановки коэффициентных обратных задач теории упругости представлены в работах А. С. Благовещенского B13–B15, В. Г. Романова, Е. А. Волковой RR4–RR6. Развитие исследований данных авторов нашло отражение в работах В. Г. Яхно, Т. В. Бугуевой (Мельниковой) M1,Ya1, в частности, доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости многомерных задач определения функции плотности для системы уравнений изотропной и анизотропной упругости. Полученные результаты являются основой теории обратных задач с импульсными источниками возмущений на границе сред.
Интегральные уравнения Вольтерра эффективно использовались в работах по теории обратных динамических задач. Здесь можно отметить монографии М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, С. П. Шишатского L8, В. Г. Романова RR6,RR22, А. Л. Бухгейма B18. Дело в том, что для многих гиперболических уравнений известны интегральные представления решений в виде интегральных уравнений вольтерровского типа. Используя эти представления, а также дополнительную информацию о решении прямой задачи, можно получить операторное уравнение Вольтерра относительно искомых коэффициентов.
Задачи определения ядра (зависящего от временной и пространственных переменных) интегрального оператора в интегро-дифференциальных уравнениях гиперболического типа — молодое интенсивно развивающееся направление в теории обратных задач, возникшее в конце 80-тых годов прошлого столетия. Первые публикации в этой области, встречающиеся в литературе, связаны с именами М. Граселли, Д. К. Дурдиева, С. И. Кабанихина, А. Лоренци, Е. Папарони, Е. Синестрари G9, D2–D4,Gr3,Gr4, Lo1–Lo3. Дальнейшие исследования обратных задач с памятью для гиперболических уравнений отражены, например, в работах B20-B22, D6–D16, D27,O4,O5,RR25,RR26, Bu1,Bu2,Gu1,Gu2,Ja1,Ja2, Lo4–Lo10, Ro2. В настоящий момент исследования по данному направлению активно продолжаются D20–D25, RR26–S11, Av,Co1.
Из наиболее близких к диссертационной работе можно выделить B22,G9,D14,D16,D21,D25,Ja1,Lo3,Lo6. В этих работах рассмотрены задачи определения ядра, зависящего только от временной переменной (одномерная обратная задача) для случая распределенных G9,Ja1,Lo3,Lo6 и сосредоточенных B22,D14,D16,D21,D25 источников возбуждения волн. Задачи сводятся к решению интегральных уравнений Вольтерровского типа относительно неизвестных функций. Далее к этим уравнениям применяется принцип сжатых отображений (теорема Банаха) в соответствующих функциональных пространствах. Получены теоремы существования, единственности, а также оценки непрерывной зависимости решения от заданных функций.
В работе D17 изучена обратная задача определения одномерного Щdy‘џТЛє‘®yюћ¶ПjмЪі
МППtx3ћv1 Ы›UG¬1 R .
В статьях RR27,RR28,Ro2,Ro3 изучены многомерные обратные задачи об определении пространственной части ядра и коэффициентов для интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругости и электродинамики. Предполагается, что носитель неоднородности искомых функций содержится внутри некоторой компактной области. Дополнительная информация о решении прямой задачи представляет собой след решения задачи Коши с нулевыми данными и задается на границе этой области. Доказаны теоремы об однозначности решения и получены оценки условной устойчивости рассматриваемых обратных задач. Cледует упомянуть монографию D20, в которой для специального класса многомерных ядер (гладких по временной переменной и аналитических по части пространственных переменных) на основе метода шкал банаховых пространств установлены теоремы однозначной локальной разрешимости. Отметим, что идея применения метода шкал банаховых пространств аналитических функций к решению многомерных обратных задач принадлежит В. Г. Романову RR8–RR10, RR22. В работе D18 рассматривается обратная задача определения двумерного ядра в интегро-дифференциальном уравнении в среде со слабо горизонтальной однородностью. Доказаны теоремы, характризующие однозначную разрешимость определения неизвестных функций для любого фиксированного отрезка. В работе RR29 решена задача об определении коэффициентов Ламэ и двух ядер, входящих в интегральные члены системы уравнений вязкоупругости в трехмерном случае при заданной плотности среды. Задача сведена к обратной кинематической задаче, получена однозначная разрешимость для ядра специального вида и параметров с компактным носителем.
Монография D20 является одной из последних фундаментальных работ в области исследования обратных задач для сред с последействием. В ней представлены результаты исследования корректности ряда постановок одномерных и многомерных обратных динамических задач для гиперболических интегро-дифференциальных уравнений, возникающих при описании внутренних характеристик сред с последействием по измерениям волнового поля в доступных областях. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости поставленных обратных задач, а также получены оценки непрерывной зависимости решений этих задач от входных данных.
В работах Kar1, Kar2, Boz,DuUD представлены численные исследования обратных задач для динамических уравнений наследственной теории упругостию..