Al-Xoramziy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Radio va Mobil aloqa fakulteti 830-20 guruh talabasi Madaminov Jasurbekning Calculas fanidan yozgan

Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash.

To’g’ri burchakli kesmada silliq (ya’ni y  yoyining uzunligi

koordinatlar sistemasida y  f x a, b f x hosila uzluksiz) bo’lsa, bu egri chiziq

b
l  ∫ 1   y^2 dx	(5)

a
formula yordamida hisoblanadi.

Egri chiziq parametrik tenglama

x  xt 

 

y y t
bilan berilgan bo’lsa, yoy uzunligi

l  ^b_∫ x²y²dt


a
aniq integral bilan hisoblanadi.

Silliq egri chiziq qutb koordinatalarida r  r ,       tenglama bilan berilgan bo’lsa, yoy uzunligi



r 2





2



∫

l

r 

d

(6)



formula bilan hisoblanadi.

7-misol. x

2

^3  y

2

^3  a

2

3

astroida yoyining uzunligini toping.

Yechish: Astroida koordinat o’qlariga nisbatan simmetrik

bo’lganligi uchun 1/4 yoy uzunligini topamiz.

Oshkormas funksiya hosilasiga asosan

2



2

 0

y



3

y

y

bundan,

.

Yoy

uzunligi

1

1

3





x

3x

3

3 y ^3

formulasiga asosan,

a

a

l = 4∫

1 +  y¢2

dx = 4∫ 1 + 3

/ ^3

^2 dx =

y

x

0

0

a

2

1

1

2

2

a

a

a

a

a

x

3 3

3

3

3

3

3

3

3

= 4∫

2

dx

= 4∫

1

dx = 4

a ∫ x

dx = 4

a

2

= 4

a × a

- 0 = 6a.

0

x ^3

0

x ^3

0

3

0

2