Al-Xoramziy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Radio va Mobil aloqa fakulteti 830-20 guruh talabasi Madaminov Jasurbekning Calculas fanidan yozgan

Al-Xoramziy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Radio va Mobil aloqa fakulteti 830-20 guruh talabasi Madaminov Jasurbekning Calculas fanidan yozgan

2-Mustaqil ishi.
Mavzu: Aniq integral, uning asosiy xossalari, yassi figuralar yuzalarini hisoblash, egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash.


Reja:

1. 
   Aniq integralning ta’rifi va uning geometric ma’nosi.
   
2. 
   Aniq integralning asosiy xossalari.
   
3. 
   Aniq integralni hisoblash. Nyuton-Leybnits formulasi.
   
4. 
   Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash.
   
5. 
   Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash.
   
6. 
   Aylanma jism hajmini hisoblash.
   

Tayanch ibora va tushunchalar

O’zgaruvchan kuchning bajarganishi, aniq integral, integral yig’indi, funksiyaning integrallanuvchanligi, aniq integralning asosiy xossalari, aniq integralning kattaligi, Nyuton-Leybnst formulasi, aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish, bo’laklab integrallash.

Aniqintegral matematik tahlilning eng asosiy amallaridan biridir.

Yuzalarni, yoyuzunliklarini, hajmlarni, o’zgaruvchan kuchning bajargan ishini hamda iqtisodning birqancha masalalari aniq integralga keltiriladi.

O’zgaruvchan kuchning bajarganishi masalasi

Masala. Materialnuqtao’zgaruvchankuchta’siridao’qi bo’yicha harakatlanayotgan bo’lsin. kuch ta’sirida material nuqta a nuqtadan v nuqtaga o’tganda bajarilgan ishni hisoblang. kuchning funksiyasi bo’ladi. kesmada uzluksiz bo’lsin.

Yechish: kesmaninuqtalar orqali šismiy kesmalarga ajratamiz.

1-chizma.

Mexanikadan ma’lumki kuch o’zgarmas bo’lsa, bajarilganish, bundakuchmiqdori, l – siljish uzunligi. Har bir qismiy kesmada bittadan nuqta tanlaymiz. Bu nuqtalardagi kuchning qiymatinilarni hisoblaymiz. Bunda har bir qismiy kesmada bajarilganish

bo’ladi. kesmada bajarilgan ish taqriban

bo’ladi.

deb belgilasak, bajarilgan ishning aniq qiymati

= (1)

bo’ladi.

Shunday qilib, o’zgaruvchan kuchning bajargan ishini hisoblash uchun (1) ko’rinishdagi cheksiz ko’p sondagi cheksiz kichiklar yig’indisining limitini hisoblash kerak ekan. Bunday limitni hisoblashga juda ko’p sondagi geometrik, texnik, texnologik va iqtisodiy jarayonlardagi masalalar keltiriladi.

Aniq integralning ta’rifi va uning geometric ma’nosi. Yuqoridagi masalani umumiy holda qaraymiz.

Kesmada uzluksiz funksiya berilgan bo’lsin. kesmaniqismiy kesmalarga ajratamiz, har bir qismiy kesmada bittadannuqtalar tanlaymiz. Bunuqtalardafunksiya qiymatlarini hisoblabyig’indini tuzamiz? Bu yig’indigafunksiya uchunkesmadagi integral yig’indi deyiladi. belgilash kiritamiz.

Ta’rif. integral yig’indiningkesmaningqismiy kesmalarga bo’linish usuliga va ulardanuqtalarning tanlanishiga bog’liq bo’lmagandagi chekli limiti mavjud bo’lsa, bu limitgafunksiyaningkesmadagi aniqintegrali deyiladi va

simvol bilan belgilanadi.

• 
  Agar [a,b] segmentni har qanday bo’laklashlar ketma-ketligi {P_m} olinganda ham unga mos integral yig’indi qiymatlardan iborat {_m} ketma-ketlik nuqtalarning tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan holda hamma vaqt I songa intilsa, bu I son yig’indining λ_P→ 0 dagi limiti deyiladi. U
  

kabi belgilandadi.

Ta’rifga asosanbo’lib, funksiyakesmada uzluksiz bo’lsa, u integrallanuvchi ya’ni bunday funksiyaning aniq integrali mavjuddir.

Bunda a son integralning quyi chegarasi, b son esa yuqori chegarasi eb atalib, [a,b] segment integrallash oralig’i deb ataladi.

Aniq integralning geometrik ma‘nosi quyidagicha: yuqoridan y = f (x)≥0 funktsiyaning grafigi bilan, quyidagi 0x o‘qi bilan, yon tomonlardan x = a va x = b to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasiga son jihatdan tengdir.
y y = f (x)




_b

S S=∫f (x)dx

^a

0 a b x

Aniq integralning fizik ma`nosi. y = v(t) funktsiya vaqt davomida to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanayotgan moddiy nuqta tezligini aniqlasa, [t₁;t₂] vaqt oralig‘ida moddiy nuqta bosib o‘tgan masofa

t₂

S = ∫ v (t)dt

t₁

uzunlik birligiga teng bo‘lishi aniq integralning fizik ma‘nolaridan birini tashkil etadi.