Al-xorazmiy nomli urganch davlat universititening matematika fakulteti

6-Teorema.  

)

,

(

y

x

f

  funksiya  

]}

,

[

],

,

[

:

)

,

{(

2

d

c

y

b

a

x

R

y

x

M









  to’plamda  

uzluksiz,  

)

,

(

'

y

x

f

y

  hususiy  hosilaga  ega  va  u  uzluksiz, 

)

(

),

(

y

y





  funksiyalar  

esa  

)

(

),

(

'

'

y

y





  hosilalarga  ega  hamda  ular  (7)  shartni  qanoatlantirsin. U 

holda    

 

funksiya  [c,d]  oraliqda  

)

(

'

y

F

  hosilaga  ega  va   













)

(

)

(

'

'

'

'

)

),

(

(

)

(

)

),

(

(

)

(

)

,

(

)

(

y

y

y

y

y

f

y

y

y

f

y

dx

y

x

f

y

F













  

bo’ladi. 





)

(

)

(

)

,

(

)

(

y

y

dx

y

x

f

y

F





Isbot.  

]

,

[

0

d

c

y





  nuqtani  olib  unga  shunday  

y



  orttirma  beraylikki  

]

,

[

0

d

c

y

y







  bo’lsin.  

(8)  munosabatdan  foydalanib  quyidagini  topamiz.  







































)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

0

0

0

0

0

0

0

)

,

(

1

)

,

(

)

,

(

)

(

)

(

y

y

y

y

y

dx

y

y

x

f

y

dx

y

y

x

f

y

y

x

f

y

y

F

y

y

F









      

















)

(

)

(

0

0

0

)

,

(

1

y

y

y

dx

y

y

x

f

y





                (12)  

0





y

  da    

y

y

f

y

y

f









)

(

)

(

0

0

   

funksiya  o’z  limit   funksiyasi  

)

,

(

0

'

y

x

f

y

  ga  [a,b]   oraliqda  tekis  

yaqinlashadi.Unda 



















)

(

)

(

)

(

)

(

0

'

0

0

0

0

0

0

0

)

,

(

)

,

(

)

,

(

lim

y

y

y

y

y

y

dx

y

x

f

dx

y

y

x

f

y

y

x

f









    (13) 

integrallarga    o’rta  qiymat  haqidagi  teoramani  qo’llab  ,  ushbu   























)

(

)

(

0

0

0

'

0

0

0

)],

(

)

(

)[

,

(

)

,

(

y

y

y

y

y

y

y

y

x

f

dx

y

y

x

f









 

 























)

(

)

(

0

0

0

''

0

0

0

)],

(

)

(

)[

,

(

)

,

(

y

y

y

y

y

y

y

y

x

f

dx

y

y

x

f









 

tengliklarni  hosil  qilamiz, bunda  

'

x

  nuqta  

)

(

),

(

0

0

y

y

y









  nuqtalar  orasida  

''

x

  esa  

)

(

),

(

0

0

y

y

y









  nuqtalar  orasida  joylashgan.  

)

,

(

y

x

f

  funksiyaning  M  

to’plamda  uzluksizligini, 

)

( y



  va  

)

( y



  funksiyalarning  esa  [c,d]  oraliqda  

hosilaga  ega  bo’lishini  e’tiborga  olsak, u  holda  











































]

))

(

(

)

,

(

[

)

,

(

1

0

0

0

'

0

)

(

)

(

0

0

lim

lim

0

0

y

y

y

y

y

y

x

f

dx

y

y

x

f

y

y

y

y

y









   

),

(

)

),

(

(

)

(

)

(

)

,

(

0

'

0

0

0

0

0

0

'

0

lim

lim

y

y

y

f

y

y

y

y

y

y

x

f

y

y



































   











































]

))

(

(

)

,

(

[

)

,

(

1

0

0

0

''

0

)

(

)

(

0

0

lim

lim

0

0

y

y

y

y

y

y

x

f

dx

y

y

x

f

y

y

y

y

y









 

).

(

)

),

(

(

)

(

)

(

)

,

(

0

'

0

0

0

0

0

0

''

0

lim

lim

y

y

y

f

y

y

y

y

y

y

x

f

y

y



































      (14) 

ekanligi  kelib  chiqadi.  

Yuqoridagi  (12)  munosabatda,  

0





y

  da  limitga  o’tib,  (13)  va  (14)  

tengliklarni  e’tiborga  olib  ushbuni  topamiz.  

.

)

(

)

),

(

(

)

(

)

(

(

)

,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

'

0

0

0

'

0

0

'

0

0

0

0

0

lim

























y

y

y

y

y

y

y

f

y

y

f

dx

y

x

f

y

y

F

y

y

F













   

Demak,  

.

)

(

)

),

(

(

)

(

)

),

(

(

)

,

(

)

(

)

(

)

(

0

'

0

0

0

'

0

0

0

'

0

'

0

0













y

y

y

y

y

y

f

y

y

y

f

dx

y

x

f

y

F













   

Modomiki, 

0

y

  nuqta  nuqta  [c,d]  oraliqdagi  ihtiyoriy  nuqta  ekan, u  holda    

]

,

[ d

c

y





  uchun   

.

)

(

)

),

(

(

)

(

)

),

(

(

)

,

(

)

(

)

(

)

(

'

'

'

'

0

0













y

y

y

y

y

y

f

y

y

y

f

dx

y

x

f

y

F













   

bo’lishi  ravshandir. Bu  esa  teoremani  isbotlaydi.  

4.XULOSA. 

          Xulosa   qilib  shuni  aytish mumkinki, biz   ko’p   o’zgaruvchili     

funksiyalar   va  ularni diferensial   hisobini   batafsil o’rganganmiz. Endi 

bunday  funksiyalarning   integral hisobi   bilan  shug’ullanamiz. SHuni  aytish  

kerakki,  ko’p  o’zgaruvchili  funksiyalarga  nisbatan   integral   tushunchasi   

turlicha   bo’ladi.  

    Mazkur  mavzu   ko’p  o’zgaruvchili   funksiyaning  bitta  o’zgaruvchisi   

bo’yicha   integrali  bilan  tanishdik   va  uni  o’rgandik. 

     Parametrga   bog’liq   integrallarda , 

)

,

(

y

x

f

  funksiyaning  limiti,   

uzluksizligi,  differensiallanuvchiligi ,  integrallanuvchiligi,   va   boshqa   

funksional  xossalariga  ko’ra   

)

( y

Ф

 funksiyaning  tegishli  funksional xossalari  

o’rganildi  .Bunday  xossalarni  o’rganishda  limiti  va  unga  intilishi  xarakteri  

muhim  rol  o’ynaydi. 

    Parametrga  bog’liq  integrallarni  parametr  bo’yicha  integralidan  

foydalanib, ushbu  











1

0

)

0

(

ln

b

a

dx

x

x

x

A

a

b

 

integralni  hisoblaymiz. 

    Ravshanki,

)

0

(



x

   







b

a

a

b

y

x

x

x

dy

x

ln

 

bo’ladi.Demak 

 



 







1

0

1

0

ln

b

a

y

a

b

dy

x

dx

dx

x

x

x

A

 

Integral  ostidagi 

y

x

y

x

f



)

,

(

  funksiya  

]}

,

[

],

1

,

0

[

:

)

,

{(

2

b

a

y

x

R

y

x

M









 

To’plamda  uzluksizdir.U  holda   

 

 



b

a

y

dx

x

dy

A

1

0

 

bo’ladi.Ammo 

 







1

0

1

1

y

dx

x

y

 

bo’lganligidan 

 













1

0

1

1

ln

1

1

a

b

dy

y

A

 

bo’ladi.Demak 











1

0

1

1

ln

ln

1

a

b

dx

x

x

x

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Foydalanilgan  adabiyotlar.  

1. Matematik analiz. 2-qism. T.Azlarov, H.Mansurov.                          

“O’zbekiston” nashriyoti.1993-yil. 

 

2. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami.     

2-qism. A.Sadullayev, X.Mansurov ,G. Xudayberganov, 

A.Borisov,R.G’ulomov. Toshkent.   “O’zbekiston” nashriyoti  

1995-yil.