"Al-Xorazmiy o’z zamonasining buyuk matematigi,va agar barcha holatlarni ham hisobga olsak, barcha davrlar buyuk matematiklaridan biridir" Reja

4. Xorazmiyning arifmetika va algebra rivojiga hissa qo’shgan asarlari mazmuni
Xorazmiyning arifmetika va algebraik asarlari matematika tarixida yangi davrni - o’rta asrlar davri matematikasi davrini boshlab berdi. Bu matematikaning keyingi asrlardagi rivojlanishiga beqiyos zo’r ta’sir ko’rsatdi.
O’zining «Algorizmi hind hisobi haqida» arifmetik asarida Xorazmiy arab tilida birinchi bo’lib o’nli pozision hisoblash sistemasini va unga asoslangan amallarning bayonini keltiradi. Bu risolaning Kembrij universiteti kutubxonasida saqlanadigan lotincha qo’lyozmasi Dixit Algorizmi" ya’ni "Algorizmi dedi" iborasi bilan boshlanadi. Xorazmiy risolasi mazkur qo’lyozmaning 102a -106 b-betlarini o’z ichiga oladi va kasrlarni ko’paytirish misolida amal oxrigacha yetmasdan risola tugaydi. A.P.Yushkevich tadqiqoticha, risolaning asli arabcha nomi «Kitob al-jam’ vat-tafriq bi hisob al-hind»
( «Hind hisobi bo’yicha qo’shish va ayirish kitobi» bo’lishi kerak. Bundan ko’rinadiki, Xorazmiy asar nomida faqat ikki arifmetik amalni ko’rsatgan, chunki u ko’paytirsh va va bo’lish amallarini ham shu ikki amalga keltirishini nazarda tutib, shunday qaragan bo’lishi, ehtimol. Xorazmiy risola avvalida hamdu sanodan so’ng 9 ta harf, ya’ni raqam yordamida hindlarning hisoblash usulini bayon etmoqchi ekanligini va bu qarflar yordamida har qanday sonni osonlik bilan qisqagina ifoda qilish mumkinligi va ular ustida amallarni bayon etmoqchi ekanligini aytadi. Lotincha qo’lyozmada hind raqamlari yozilmagan, ular o’rni bo’sh qoldirilgan. Faqat goho 1, 2, 3, 5 uchun hind raqamlari va nol uchun aylana shakli yozilgan. Xorazmiy bu asarida o’zidan oldingi matematik asarlardan foydalanganligi ham seziladi. Sonlarni hind raqamlari bilan o’nli pozision sistemada yozilishini 0 ga o’xshash kichik doirachani ishlatilishi haqida mufassal so’zlagandan so’ng Xorazmiy katta sonlarni aytishni o’rgatadi va bunda faqat birlar, o’nlar, yuzlar va minglarning nomlaridan foydalanadi. Misol tariqasida, 1180 073 051 492 863 sonining o’qilishini ko’rsatadi, u bunday o’qiladi: mingta ming ming ming ming besh marta va yuz ming ming ming ming to’rt marta va sakson ming ming ming ming to’rt marta va yetmish ming ming ming uch marta va uch ming ming ming uch marta va ellik bir ming ming ikki marta va to’rt yuz ming va to’qson ikki ming va sakkiz yuz oltmish uch. Sonlarning bunday noqulay o’qilishi Sharqda ham, Yevropada ham uzoq muddat saqlanib, o’nli pozision sistema uzil-kesil g’alaba qilgandagina yo’qoladi.
Bundan keyin Xorazmiy hind usuliga ko’ra arifmetik amallarni muafassal bayon qilishga o’tadi va qo’shish, ayirish amallaridan boshlaydi. Bu amallarda doiracha, ya’ni nolning roliga katta ahamiyat beradi. Xorazmiy bu haqda bunday deydi: «Agar hyech narsa qolmasa, martaba bo’sh qolmasligi uchun doiracha qo’yib qo’y, lekin u yerda uni egallovchi doiracha tursin, chunki agarda u yer bo’sh bo’lib qolsa, martabalar kamayib qoladi va ikkinchini birinchi o’rnida qabul qilinib qoladi va shu bilan sen o’z soningda yanglishib qolasan».
Xorazmiy ikki baravarlash va ikkilash, ya’ni yarimlash amallariga ham ahamiyat beradi. U ikkilash amalini bajarishda qadimgi bobil matematik an’analariga ham tayanganligi seziladi. Uning «birni ikkilaysan, ya’ni ikkita yarimga ajratasan, shunda uning bitta yarmi birni tashkil qiluvchi oltmishning o’ttiz qismini tashkil qiladi» degan iboralari buning yorqin dalilidir.
Bundan keyin u butun sonlarni biri-biriga ko’paytirishga o’tadi. Buning uchun u 9 ni 9 gacha ko’paytirish jadvalini yoddan bilish kerakligini aytadi. Xorazmiy keltirgan sonlarni ko’paytirishda ko’paytuvchini ko’paytiriluvchining tagiga joylashtirilib, bunda quyi martabasi ko’paytiriluvchining yuqori martabasi tagida yozilishi kerakligini aytadi. Bo’lishda " bo’lish ko’paytishga o’xshashdir, lekin unga teskari, chunki bo’lishda biz ayiramiz, ko’paytishda esa qo’shamiz".
Xorazmiy kasr sonlar ustidagi amallarni ham qarab o’tadi.Unda kasrlarning atalishidagi arab tiliga xos xususiyat saqlangan. U avval oltmishlik kasrlar bilan amal tutadi va bunday kasrlarni hindlarga nisbat beradi. Lekin aslida bunday kasrlar bobilliklarga mansub bo’lib, u Bobildan Iskandariya (Misrga) o’tgan.
Xorazmiy oltmishlik kasrlar tushunchasini kiritishda birni oltmish bo’lakdan iborat deb qarab, buning har bir qismini daqiqa, buning oltmishdan bir qismi soniya, buning oltmishdan birini solisa va h.k. deyilishini aytadi. Bunday kasrlarni ko’paytirishda ko’paytmaning martabasini aniqlash qoidasini aytadi.
Xorazmiy risolasining arabcha nusxasi saqlanmagani uchun u foydalangan raqamlarpning shakli haqida olimlar bir tugal fikrga kelmaganlar. Kembrijda saqlanadigan lotincha nuxasida uchratiladigan 1,2,3,5 va 0 ning shakllari ham Xorazmiyda raqamlarning shakli haqida aniq xulosaga kelishga imkon bermaydi.
Xorazmiyning algebraik risolasi uning arifmetik risolasidan avval yozilgan. Olimning arifmetik risolasida algebrasini eslashi bunga dalil bo’la oladi. Risolaning nusxasi 1342 yili va Oksford universiteti Bodleyan kutubxonasida saqlanadigan arabcha nusxasi 34 varaqni tashkil qiladi. Risola uch qismdan iborat: 1) algebraik qism (1b-15 a-betlar); oxirida bir kichik bo’lim-savdo muomalasidagi bob keltiriladi; 2) geometrik qism-algebraik usul qo’llab o’lchashlar haqida (15a-18b-betlar); 3) vasiyatlar haqidagi qism. Xorazmiy uni alohida nom bilan "Vasiyatlar kitobi" deb atagan (18 b-34 a-betlar). Xorazmiy risolada hyech qanday belgilashlarni keltirmaydi va mavzuni butunlay so’z bilan bayon etadi va shakllar keltiradi. 
Xorazmiy risola boshida hamdu-sanodan keyin bu kitobni yozishdan maqsadi nima ekanligini quyidagi so’zlar bilan aytadi: "Men arifmetikaning odiy va murakkaab masalalarinii o’z ichiga oluvchi "Aljabr va almuqobala hisobi haqida qisqacha kitobi" ni taklif qildim, chunki meros taqsim qilishda, vasiyatnoma tuzishda, mol taqsimlashda va adliya ishlarida, savdoda va har qanday bitimlarda va shuningdek, yer o’lchashda, kanallar o’tkazishda, geometriyada va boshqa shunga o’xshash turlicha ishlarda kishilar uchun bu zarurdir".
Xorazmiy asosiy algebraik mavzuga o’tishdan oldin avval o’nlik pozision hisoblash sistemasi, uning qulaylik va afzalligi haqida qisqacha to’xtalib o’tadi.
Uning aytishicha algebrada uch xil sonlar bilan ish ko’riladi: ildiz (jizr), yoki narsa (shay), kvadrat (mol) va oddiy son yoki dirham pul birligi. Ildiz o’z-o’zini ko’paytiriladigan miqdor, kvadrat esa ildizni o’ziga ko’paytirishdan hosil bo’lgan kattalikdir. Xorazmiy ko’radigan tenglamalar mana shu uch miqdor orasidagi munosabatlardir. U avval risolada ko’riladigan 6 ta chiziqli va kvadrat tenglamaning sinflarini keltiradi. Bundan keyin konkret misollar bilan boshqa har qanday tenglamalar risola mohiyatidagi asosiy amallar - aljabr va almuqobala amallari yordamida olti kanonik ko’rinishga keltirilishi ko’rsatiladi.
Tenglamalarning avvalgi uch ko’rinishini Xorazmiy konkret misollarda og’zaki yechadi. Bular kvadrat ildizlarga teng, kvadratlar sonlarga teng, ildizlar songa teng.
Xorazmiy 6 ta kanonik ko’rinishdagi tenglamalarni yechish usulini muafassal bayon qilgandan so’ng algebraik ifodalar ustida bajariladigan asosiy amallar bayoniga o’tadi. Bu bo’limda kabi ikkihad va birhadlarni ko’paytirish kabi yig’indi va ayirmalarning o’xshash hadlarini ixchamlash yoki kabi ko’paytuvchilarni kvadrat ildiz ostiga kirtish yoki ularni kabi kvadrat ildiz ostidan chiqarish, kabi ildizlarni ko’paytirish va h.k. amallarni ko’radi. Qo’shish va ayirish amallarini Xorazmiy kesmalar misolida ko’rsatib u bir jinslilik bo’lishini talab qiladi.
Xorazmiy irrasionallik tushunchasinin ishllatgan bo’lsa ham, irrasional miqdorlar bilan ko’p ish ko’rmaydi. U keltirgan tenglamalarning deyarli barchasining koeffisiyentlari rasional va ko’pincha butun yechimlarga egadir. Irrasional yechimga ega bo’lgan tenglamalar sanoqli bo’lib, ular ko’rinishga mansubdir va faqat birgina to’liq kvadrat tenglama , ya’ni ko’rsatilgan bo’lib, uning ye-chimi keltirilmagan.
Algebraik hisob haqidagi boshlang’ich ma’lumotlardan keltirilgan boblardan keyin yuqorida ko’rilgan 6 ta kanonik ko’rinishdagi tenglamalar uchun sonli misollar keltiriladi. Bulardan to’rttasida 10 ni turli shartlarga ko’ra ikki qismga ajratish masalasi ko’riladi. U tenglamalarning avvalgi uchtasi mana bulardir:
Keyingi bobda har xil masalalar ko’riladi. Bu masalalar sistemalarni yechishga bag’ishlangan bo’lib, ularning birinchi tenglamalarida yana oldingi bobning sharti, ya’ni qaytariladi, ularning ikkinchi tenglamalari ushbu ko’rinishlarga egadi
Xorazmiy ikkinchi noma’lumni kiritmagan bo’lsa ham va qismlar bilan, ya’ni narsa va narsasiz o’n bilan ish ko’radi. Xorazmiy keltirgan masalalar orasida odamlar soni x aniqlanishi kerak bo’lgan masala diqqatga sazovordir: uning shartini tenglama bilan ifodalash mumkin. Har xil masalalar bobidan keyin risolaning geometrik bo’limi keladi. Xorazmiy algebrasining bu bo’limida yuza o’lchash, qoidalari va uchburchaklarga doir masalalarga geometriyaning tatbiqi keltirilgan. Ayrim qoidalar, ta’rif va isbotlar bilan, yoki qisqacha tushuntirish bilan keltirilgan. Xorazmiy yassi shakllardan uchburchak, to’rtburchak va doira bilan ish ko’radi. U uch xil uchburchakni (burchagiga ko’ra) qaraydi. Ularni aniqlash uchun katta tomonining kvadrati bilan qolgan ikki tomonlari kvadratlari yig’indisi orasidagi tegishli tenglik yoki tengsizlikni keltiradi. Pifagor teoremasini Xorazmiy xususiy hol teng yonli uchburchak uchun isbotladi. Xorazmiyda to’rtburchaklar besh xil turdan iborat: kvadrat, to’g’ri to’rtburchak, romblar, romboid, ya’ni parallelogramm va turli tomonli to’rtburchaklar. Rombning yuzasi diagonal va bir tomoni bo’yicha aniqlanadi. Ixtiyoriy to’rtburchakning yuzasi esa uni diagonali bilan uchburchaklarga ajratilib hisoblanadi.
Xorazmiy keltirgan masalalarning ayrimlari Geronning masalalariga mos kelib, hatto ulardagi son miqdorlari ham ular bilan bir xil. Masalan, tomoni 10 ga teng tomonli uchburchak yuzasini aniqlash, asosi 12 va yon tomoni 10 bo’lgan teng yonli uchburchak ichiga kvadrat yasash, tomonlari 13, 14, 15 bo’lgan o’tkir burchakli uchburchak yuzasini aniqlash.
Xorazmiy to’g’ri prizma, silindr, piramida, konus hamda balandligi va asoslari ma’lum kvadratdan iborat kesik piramidaning hajmlarini topish qoidalarini ham keltiradi. Bu keyingi hajmni u ikkita to’liq piramida hajmlarining ayirmasi deb qaraydi va avval ularning balandliklarini aniqlaydi.
Bu yerda Geron asarlariga yondoshgan adabiyotlar bilan hind geometrik nazariyalari bilan tanish ekanligi seziladi. Geometrik qism juda kichik bo’lsada, o’sha davr hunarmandlari uchun zarur bo’lgan juda zarur ma’lumotlarni o’z ichiga olgan hamda sodda va ravon til bilan bayon etilgan edi.
Xorazmiy algebrasining vasiyatnomalariga bag’ishlangan uchinchi bo’limidagi masalalarning deyarldi barchasi chiziqli tenglamalar bilan ifodalanadi. Bu bo’limda keltirilgan qator masalalarda aniqmas va ko’pincha birjinsli tenglamalar bilan ish ko’riladi.
U o’z algebrasida qanday manbalarga asoslanganligi ma’lum emas. Uning arifmetikasi hindlardan olinganligi aniq, lekin algebrasi qator xususiyatlari bilan ajralib turadi. Xorazmiy algebrasida kvadrat tenglamalar yechimini yoki algebraik miqdorlar ustidagi amallarni geometrik asoslash muhim o’rin tutadi, lekin hind algebrasida bunday hol butunlay uchratilmaydi. Xorazmiy hindlardan farqli ravishda manfiy sonlarni ham, simvolikani ham ishlatmaydi. Undan tashqari, Xorazmiy algebrasi tenglamalar ildizlari uchun geometrik yasashlar mavjudligi bilan yunon algebrasiga yaqin bo’lsada, umuman bayon etilish usuli bo’yicha Yevklidning "Negizlari" dan jiddiy farq qiladi. Faqat, 2-kitobi 2 jumlasidagi shakli bilan haqiqiy o’xshashlik bo’lib, ularning ikkisi ham ikki son yig’indisi kvadrati formulasining geometrik ifodasidan iborat.
Xorazmiy algebrasining fan tarixidagi roli nihoyatda ulkandir. Algebrada u boshlab bergan yo’nalishni keyingi davr matematiklari davom ettirib, yuqori pog’onalarga ko’tardilar. Umar Hayyom Xorazmiydan keyin u boshlab bergan algebradagi yo’nalishni davom ettirib geometrik algebra usulini sharq algebrasiga kiritadi va tenglamalarning Xorazmiydan to’laroq sinfini keltiradi. Xorazmiy kanonik ko’rinishlar 6 ta bo’lgan bo’lsa, u kubik tenglamalar hisobiga 25 taga yetkazadi. Jamshid Koshiy esa o’zining 1427 yilda yozilgan "Miftoh al-hisob" nomli asarida bu usulni yanada takomillashtiridi. Shu bilan birga Koshiy ijodida Xorazmiy boshlab bergan Sharq algebrasi va umuman, matematikasi o’zining yuqori pog’onasiga ko’tariladi.