Algebra. Algebra va uning turlari

ALGEBRA.ALGEBRA VA UNING TURLARI


Oldingi darsda bitta A  to’plamning o’zida bir nechta algebraik amallar mavjud bulishini kurib utdik. shu amallar f₁, f₂,...,f_s bo’lsin.
Ta’rif. Bo’sh bo’lmagan A to’plam va unda qaralayotgan algebraik amallar to’plami dan tuzilgan > tartiblangan juftlik algebra deyiladi va uni A₁ orqali belgilanadi.
Ta’rifga kura A₁= > bo’ladi. Bunda A to’plamning elementi A₁ algebraning elementi, A to’plam A₁ algebraning asosiy to’plami, dagi operatsiyalar A₁ algebraning asosiy operatsiyalari deyiladi.
A to’plamda qaralayotgan amallar soni chekli bo’lganda bu algebra
A₁=< A,f₁,f₂,...,f_s > ko’rinishda belgilanib uni uzunligi s+1 ga teng bulgan kortej xam deyiladi.
f algebraik amalning rangi odatda r(f) orkali belgilanadi.
Ta’rif. Agar g(f_i)=g_i,(i=1,2,...,s) bo’lsa (r₁,r₂,...,r_s) kortej A₁=₁,f₂,...,f_s> algebraning turi (tipi) deyiladi.
Masalan, N₁= algebra (2, 2, 0) turli algebra buladi.
Ta’rif. A va A^| to’plamda aniqlangan algebraik amallar soni teng bo’lib, A to’plamda aniqlangan f_i(i=l,2,..., k) algebraik amallarning rangi bilan A' to’plamda aniqlangan va f_iF={f₁, f₂,...,f_s} amallarga moc keluvchi f_j^/F^/={f₁^/,f₂^/,...,f_e^/} algebraik amallarning ranglari o’zaro teng bo’lsa, u xolda A₁= va A^f₁=/, F^/> algebra o’zaro bir xil turli algebralar deyiladi.
Masalan, va ⁺, •, 1> algebralar bir xil turli algebralar buladi (bunda R⁺-musbat xakikiy sonlar to’plami), ya’ni ikkalasi xam (2, 0) turli algebralar buladi.
Ta’rif. Agar A₁ algebraning to’plami A chekli (cheksiz) bulsa, u xolda A₁ algebra chekli (cheksiz) algebra deyiladi.
Endi bir xil turli algebralarning gomomorfligi xaqidagi tushuncha bilan tanishaylik.
Ta’rif. Bir xil turli A₁= va A^/₁=/,F^/> algebralar berilgan bo’lib, A to’plamni A^/ to’plamga bir qiymatli akslantiruvchi shunday (f_i(a₁,a₂,...,a_n))=f_i^/( (a₁), (a₂),..., (a_n)) tenglik A to’plamning barcha elementlari uchun bajarilsa, u xolda A₁ algebra A^/₁ algebraga gomomorf akslangan deyiladi va uni A₁ A^/₁ kurinishda belgilanadi (bunda p son f_i amalning rangi).
Masalan, aR uchun (a)=|a| akslantirish algebrani 0⁺,•> algebraga gomomorf akslantiradi (bu erda R₀⁺ to’plam manfiymas xakikiy sonlar to’plamidir), ya’ni 0⁺,•> buladi.
Ta’rif. Agar A₁ algebraning A^/₁ algebraga gomomorf akslanishi biektiv (o’zaro bir qiymatli) akslantirish bo’lsa, u xolda A₁ algebraA^/₁ algebraga izomorf deyiladi va uni A₁ ' ko’rinishda belgilanadi.
Masalan, +, •, 1> bo’ladi.
Algebralarning izomorfligi binar ekvivalentlik munosabati bo’ladi.
ALGEBRA MORFIZMLARI

O’zaro birqiymatli akslantirish

Syurektiv akslantirish

Agar algebralar bir turli bo’lsalar ularning o’xshashligi to’g’risida savol tug’iladi va MORFIZM deb ataladi.
Ta’rif. Bizga А=< А, φ₁ φ₂… φ_n> и В=1,…, ψ_n>-
algebralar berilgan bo’lsin.Agar f: АВ, funksiya berilgan bo’lib
i=1,2,…n f(φ_i(a₁,…a_n))= ψ_i(f(a₁)… f(a_n)), te nglik o’rinli bo’lsa bu funksiya A algebraning B ga gogmomorfizmi deyiladi.
Misol. Er sthining xaritada aks ettirilishi gomomrf bo’ladi.Chunki xaritada eng yuqori joyga to’ arng mos kelsa quyi pastliklarga och rang mos qo’yiladi.
GOMOMRFIZM TURLAR:
1.Inyektiv moslikdagi gomomorfizm-MONOMORFIZM.
f(x) = f(y) → x = y bo’lsa.
2. Syurektiv moslikdagi gomomorfizm-EPIMORFIZM.
f(x) = y barcha y lar ucun o’rinli bo’lsa
3. O’zaro bir qiymatliu moslikdagi gomomorfizm-IZOMORFIZM.
MONOMORFIZM + EPIMORFIZM = IZOMORFIZM
4. Biyektiv moslikdagi gomomorfizm-AVTOMORIZM.
Teskarilanuvchi bo’lsa