Algebra va sonlar nazariyasi-1

11-ma’ruza

1. Mavzu: Xalqa va uning asosiy xossalari. Butunlik sohasi. Maydon. Jism.

2. Maqsad: Yarimxalqa, xalqa, butunlik sohasi, maydon va jism tushunchalari bilan tanishtirish va ularning asosiy xossalarini aniqlash.
3. Metodik ta’minot:
a) adabiyot: [1] ( 79-82 b.b.), [2] (104-107 b.b.), b) ShEHM, proektor.
4. Reja:

1. 
   Xalqa va uning sodda xossalari.
   
2. 
   Butunlik soxasi, maydon va jism tushunchalari.
   

5. Mavzu bayoni.
5.1 Kirish. Xalqa va uning hususiy hollari bŏlmish maydon va jism tushun-chalari ham oldingi ma’ruzada urganilgan gruppa singari algebraning xususiy hollaridir. Gruppada biz bitta binar amal bilan ish kŏrgan edik. Endi biz bŏsh bŏlmagan A tŏplamda ikkita binar (biz ularni kŏpaytirish va qŏshish amallari deb ataymiz) aniqlangan deb qaraymiz. Xalqa tushunchasini ilk bor Dedekind kiritgan.
5.2. Asosiy qism.
Ta’rif: A tŏplam xalqa deyiladi, agar u quyidagi shartlarga buysinsa:

1. 
   A - additiv abel gruppa;
   
2. 
   A da kŏpaytirish amali aniqlangan bŏlib, unga nisbatan A - yarimgruppa;
   

( ya’ni (a,b,sA) a(bs)=(ab)s)

3. 
   Shŏpaytirish amali kŏshish amaliga nisbatan distributiv amaldir ( ya’ni (a,b,sA)(a+b)s=as+bs, s(a+b)=sa+sb.)
   

Agar A dagi kŏpaytirish amali kommutativ bŏlsa (ya’ni (a.bA) uchun ab=ba tenglik ŏrinli bŏlsa) u holda A xalqaga kommutativ xalqa deyiladi. Agar A da birlik element mavjud bŏlsa, u holda A xalqaga birli xalqa deyiladi. Agar A tŏplam chekli bŏlsa,u holda xalqa chekli, aks holda cheksiz deyiladi. A dagi nol’ element A xalqaning nol’ elementi deyiladi. Agar A tŏplamning elementlari sonlardan iborat bŏlsa, u holda A xalqa sonli xalqa deyiladi. Ravshanki, ixtiyoriy sonli xalqa kommutativ xalqa bŏladi.
Misollar (tekshiring).

1. 
   {0} – nol’ –xalqa.
   
2. 
   Z, Q – butun va ratsional sonlar xalqalari.
   
3. 
   C[a,b] - [a,b] segmentda uzluksiz bŏlgan sonli funktsiyalar xalqasi.
   
4. 
   tZ – t Zg’{1,-1} soniga karrali bŏlgan butun sonlar xalqasi.
   

5) Q [ ]={a+b / aQ , bQ}
Yuqorida keltirilgan 1)-7) misollardagi xalqalar asosiy xossalari qŏyidagi jadvalda keltirilgan:

Xalqa	Kommutativligi	Birlik element mavjudligi	Teskarilanuvchi elementlar
{0}	Kommutativ xalqa	1=0	0 ^–1=0
Z	Kommutativ xalqa	1	Faqat 1 va –1 sonlar
Q	Kommutativ xalqa	1	Noldan farqli sonlar
R	Kommutativ xalqa	1	Noldan farqli sonlar
C[a,b]	Kommutativ xalqa