Algebraik amalga nisbatan neytral, yutuvchi va simmetrik elementlar Rеjа

Algebraik amalga nisbatan neytral, yutuvchi va simmetrik elementlar
Rеjа:

1. Neytral elementlar

2. Yutuvchi elementlar

3. Simmetrik elementlar

4. Gruppalar

5. Qism gruppa

6. Halqa va maydon

Tаyanch ibоrаlаr: neytral, yutuvchi, simmetrik elementlar, gruppalar, qism gruppa, halqa va maydon.
1. Neytral elementlar

Ta’rif. X to’plamda _* algebraik amal berilgan bo’lib, shu to’plamdagi barcha a elementlar uchun a_*e=e_*a=a (1) tenglik bajarilsa, x to’plamning e elementi bu amalga nisbatan neytral element deb ataladi.

Masalan, haqiqiy sonlar to’plami R da 0 va 1 sonlari neytral elementlar bo’ladi.

Bunda 0 qo’shish amaliga nisbatan, 1 esa ko’paytirish amaliga nisbatan neytral elementlardir. Chunki,

a+o=a, a_*1=a.

X to’plamda bittadan ortiq neytral element bo’lishi mumkin emas. Haqiqatdan, e₁ va e₂ X to’plamda _* algebraik amalga nisbatan neytral elementlar bo’lsin deylik. u holda, e_1*e₂=e₁, e_1*e₂=e₂ tengliklar bajarilishi kerak. Bundan, e₁=e₂ bo’lishi kelib chiqadi.

X to’plamda bitta ham neyaral element bo’lmasligi mumkin. Masalan, natural sonlar to’plamida qo’shish amaliga nisbatan neytral element yo’q, chunki a+o=a desak, 0 natural son emas.

Agar X to’plamda _* amalga nisbatan e neytral element mavjud bo’lsa, faqatgina shu amalni saqlovchi har qanday ifodada barcha e larni va ularga mos _* belgilari bilan tashlab yuborish mumkin.

Masalan, 5+0+2+0+0+4=5+2+4=10,

4.2.1.3.1.1.2=4.2.3.2=48.

Misol.  to’pdam to’plamlarni qo’shish amaliga nisbatan neytral element bo’ladi. Chunki,  A = A=A

2. Yutuvchi element

Ta’rif. X to’plamda _* algebraik amal berilgan bo’lib, shu to’plamdagi barcha a elementlar uchun _*a=a_*= tenglik bajarilsa, X to’plamning  elementi bu amalga nisbatan yutuvchi element deb ataladi.

Masalan, 0 soni ko’paytirish amaliga nisbatan singdiruvchi element bo’ladi. Chunki, aR uchun 0^.a=a^.0=0 tenglik o’rinli. Demak, 0 ko’paytirish amaliga nisbatan singdiruvchi elementdir.

X to’plamda bittadan ortiq singdiruvchi element bo’lishi mumkin emasligini ko’rsatish mumkin (isbotlang).

Agar  biror X to’plamda qaralganda, _* algebraik amalga nisbatan singdiruvchi element bo’lsa, bu  element qatnashgan har qanday ifodani  bilan almashtirish mumkin. Masalan,

2.0.(-5)..4=0

Misol.

 to’plam to’plamlarni ko’paytirish amaliga nisbatan singdiruvchi element bo’ladi. Chunki, A= A=.

3. Simmetrik element

Biz bu yerda, _* algebrik amalga nisbatan a element bilan simmetrik bo’lgan element tushunchasini keltiramiz. Bu tushunchalarning xususiy hollari qarama-qarshi va teskari son tushunchalaridan iborat bo’ladi. Ma’lumki, a songa qarama-qarshi son - a, a songa teskari son bo’ladi.

Ta’rif. X to’plamda _* algebraik amalga nisbatan e neytral element mavjud bo’lib, a_*ã=ã_*a=e (1) tenglik bajarilsa, ã element a elementga simmetrik element deyiladi.

Masalan, R to’plamda 0 qo’shish amliga nisbatan neytral element bo’lgani uchun (1) simmetriklik sharti a+ ã= ã+a=e bo’lib, bu a+(-a)=(-a)+a=0 ni anglatadi.

Xuddi shuningdek, R to’plamda 1 ko’paytirish amaliga nisbatan neytral element bo’lgani uchun (1) simmetriklik sharti

a∙ã=ã∙a=e bo’lib, bu ni anglatadi.

Agar X to’plamda _* algebraik amal assosiativ bo’lsa, y to’plamning hech bir a elementi ikkita har xil simmetrik elimentga ega bo’lmaydi. Haqiqatdan, agar b va c lar a ga simmetrik bo’lsa, u holda ba=ac=e bo’ladi. Amalning asossitivligiga ko’ra, (ba)c=b(ac). Bundan yuqoridagi tenglikka ko’ra ec=b_*e ya’ni c=b.

X to’plamda a elementga simmetrik bo’lgan bitta ham element bo’lmasligi mumkin. Masalan, X=N decak, N da qo’shish amaliga nisbatan a songa simmetrik element yo’q. Chunki, simmetrik element -a bo’lishi kerak, u nutural son emas.

1-teorema. Agar ã element a ga simmetrik bo’lsa, a element ham ã ga simmetrik bo’ladi.

Isbot. Ta’rifga ko’ra, ãa=aã=e bo’lgani uchun a va ã larning rolini almashtirish mumkin. Boshqacha aytganda, ã=a (2) o’rinli.

2-teorema.  amal assossiativ bo’lib, a va b elimentlar ã va simmetrik elimentlarga ega bo’lsin. U holda, (3) tengilk o’rinli bo’ladi.

Isbot. _* ning asssiativligiga ko’ra:

(ab)  ( ã)=a (b) ã=aeã =a ã=e

(ã)  (ab)=  (ãa) b=eb=b=e.

Bu tengliklardan ab va ã larning simmetrik ekanligi kelib chiqadi.

Endi isbotlangan ã=a va (ab) = ã tengliklarni sonlarni qo’shish amaliga tadbiq qilamiz. Bu amalga nisbatan neytral element 0 bo’ladi. Shuning uchun simmetriklik sharti a+ã=0 ko’rinishda bo’ladi. a ga simmetrik element unga qarma-qarshi element -a bo’lgani uchun, (2) tenglik -(-a)=a ni (3) tenglik esa - (a+b)=-a-b ni anglatadi.

Faraz qilaylik, endi  -ko’paytirish amali bo’lsin. Bu holda neytral element vazifasini 1 bajaradi. Shuning uchun simmetriklik sharti aã =1 ko’rinishda bo’ladi. a0 bo’lganda, a ga simmetrik element bo’ladi. Bu holda, (2) va (3) lar qo’yidagi ko’rinishda bo’ladi:

va

Agar  amal assosiativ bo’lsa, faqat shu amalni saqlovchi ifodalarni soddalashtirish paytida ikkita bir-biriga simmetrik elementlar yonma-yon turgan bo’lsa, a_*ã (yoki ã_*a)ni neytral element e bilan almashtirib so’ngra, uni tashlab yuborish mumkin. Agar,  amali assosiativ bo’lishi bilan birga kommutativ ham bo’lsa, ifodada qatnashgan har qanday ikki simmetrik elementni tashlab yuborish mumkin.

Masalan, 20+ (-10)+4+(+10)=20+4=24

.

Daraja tushunchasi qo’yidagicha umumlashtiriladi: a^-n element (ã)ⁿ kabi belgilanadi. Bu holda, darajaning xossalari saqlanadi: aⁿ_*a^m=a^n+m va (aⁿ)^m=a^nm. Agar _* kommutativ ham bo’lsa, (a_*b)ⁿ=aⁿ_*bⁿ tenglik ham o’rinli bo’ladi (isbotlang).

4. Gruppalar
1-ta’rif. Qo’yidagi aksiomalarni qanoatlantiruvchi _* algebraik amalli G to’plam gruppa deb ataladi.

1. G dagi  algebraik amal assosiativ.

2. G da  amalga nisbatan neytral e element mavjud.

3. Har bir aG element uchun simmetrik ãG element mavjud.

1-Misol. Butun sonlar to’plami Z sonlarni qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil etadi. Bu to’plamda sonlarni qo’shish algebraik amaldan iborat, chunki butun sonlar yig’indisi yana butun sondan iborat. Qo’shish amali asossiativ, chunki a,b,c butun sonlar uchun, a+(b+c)=(a+b)+c tenglik o’rinli. Z to’plamda a+0=a, (aZ,0Z). Z to’plamda a elementlar uchun simmetrik -a element mavjud, chunki a+(-a)=0

Gruppa ta’rifida  algebraik amalning kommutativligi talab qilinmaydi.

2-ta’rif. Agar G gruppadagi  algebraik amal kommutativ bo’lsa, uni kommutativ gruppa deb ataladi.

Yuqoridagi misolda qo’shish amali kommutativ, chunki a+b=b+a (a,bZ). Demak, Z to’plam qo’shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa ham ekan.

Komutativ gruppalarada  amal + belgisi orqali yoziladi va uni qo’shish amali deyiladi, neytral element 0 bilan belgilanadi va uni nol deb ataladi, a ga simmetrik element esa - a orqali belgilanadi va uni qarama-qarshi element deb ataladi. Yana bundan tashqari, kommutativ gruppalarada  amal ∙ belgisi orqali yoziladi va uni ko’paytirish amali deyiladi. Bunda neytral element 1 bilan belgilanadi va uni bir deb ataladi, a ga simmetrik element orqali belgilanib, uni a ga teskari element deb ataladi.

2-misol. Musbat haqiqiy sonlar to’plami R₊ ko’paytirish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi. Chunki, a, b cR+ uchun, a^.b=b^.a, a(bc)=(ab)c tengliklar bajariladi. Bunda, ikki musbat haqiqiy sonlarning ko’paytmasi musbat haqiqiy son bo’ladi, neytral elementi rolini 1, simmetrik element rolini bajaradi.

3-Misol. Uch o’lchamli R³ fazoda vektorlar to’plami qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi. Haqiqatdan, a=(a₁, a₂, a₃) b=(b₁, b₂, b₃) vektorlar yig’indisi a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) bo’lib, a+b=b+a ekani ko’rinib turibdi. Bu qo’shish amalining kommutativligini bildiradi. a, b, cR₃ vektorlar uchun qo’shish amali assosiativlik xossasiga ega, ya’ni: (a+b)+c=a+(b+c). Haqiqiqatdan, (a+b)+c=(a₁+b₁, a₂+b₂,a₃+b₃)+(c₁,c₂,c₃)=((a₁+b₁)+c₁, (a₂+b₂)+c₂, (a₃+b₃)+c₃)= (a₁+(b₁+c₁), a₂+(b₂+c₂), a₃+(b₃+c₃))=(a₁, a₂, a₃)+(b₁+c₁, b₂ + c₂, b₃+c₃) =a+(b+c).

R³ da qo’shish amaliga nisbatan neytral element  bo’lib, u nol vektor deyiladi: =(0,0,0). a vektorga simmetrik vektor - a bo’lib, u qarama-qarshi vektor deyiladi:

-a=(-a₁, -a₂, -a₃).

4-Misol. aZ, bZ ko’rinishdagi sonlar to’plami qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil etadi.

Haqiqatdan, bu to’plamda ikki a₁b₁ va a₂b₂ sonlarning yig’indisi qo’yidagicha aniqlanadi:

.

a₁+a₂Z, b₁+b₂Z, bo’lgani uchun, bu yig’indi Z() to’plamga tegishli bo’ladi.

5-misol. Natural sonlar to’plami N ko’paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil etmaydi. Chunki, bu amalga nisbatan kommutativlik va assosiativlik xususiyatlari o’rinli va natural element 1 mavjud bo’lgani bilan a>1 sonlar uchun simmetrik element mavjud emas. Chunki .

6-misol. m catrli n ustunli matritsalarning M to’plami matritsalarni qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil etadi. m satrli va n ustunli matritsa deb qo’yidagi jadvalga aytiladi:

.

Bunda m=n bo’lishi mumkin. U holda kvadrat matritsa hosil buladi. Ikkinchi bir B matritsa ham berilgan bo’lsin.

.

A va B matritsalarning yig’indisi A+B deb quyidagi C matritsaga aytiladi:

.

Matritsalarni qo’shish amali quyidagi xossalarga ega.

1 A+B=B+A (Kommutativlik xossasi)

2 A+(B+C)=(A+B)+C (Assositivlik xossasi)

3 Har qanday m satrli n ustunli A va B matritsalar uchun shunday X m satrli va n ustunli matritsa mavjudki, uning uchun A+X=B tenglik o’rinli (teskari amalning mavjudligi) bu xossalarni osongina isbotlash mumkin. A matritsaga qarama-qarshi matritsa deb, -A matritsaga aytiladi:

.

Nol matritsa deb quyidagi matritsaga aytiladi:

.

Endi m satrli va n ustunli matritsalar to’plami matritsalarni qushish amaliga nisbatan gruppa tashkil etishini ko’rsatamiz.

3. 
   M to’plamda qo’shish amali asosisiativ (2 xossa).
   

2. M to’plamda neytral element mavjud u nol matritsa bo’ladi.

3. Har bir A matritsa uchun –A simmetrik matritsa mavjud, ya’ni A+(-A)=0.

Demak, M to’plam gruppa tashkil etadi.

Gruppaga ikkinchi xil ta’rif ham berish mumkin.

3-ta’rif. _* Algebraik amalli G to’plamda

1) bu amal - assosiativ va

2) G da bu amalga teskari amal aniqlangan bo’lsa, G to’plam gruppa deyiladi.

Gruppaning birinchi va ikkinchi xil ta’riflari ekvivalent ta’riflar ekanligini osongina ko’rsatish mumkin.

Gruppadagi algebraik amal qo’shish, (ko’paytirish) deyilganda gruppani additiv (multiplikativ) gruppa deb ataymiz.
5. Qism gruppa
4-ta’rif. G to’plamning H qism tuplami G da aniqlangan algebraik amalga nisbatan gruppa tashkil etsa, H ni G ning qism gruppasi yoki G dagi qism gruppa deyiladi.

1-teorema. G gruppaning H qism to’plami G da qism gruppa tashkil etish uchun, quyidagi ikki shartning bajarilishi zarur va ytarli.

1) H ning istalgan ikki elementi ko’paytmasi yana H ga qarashli.

2) H ning har bir h elementi uchun, shu H da unga teskari element mavjud.

Isbot. 1. H qism gruppa (demak, gruppa) bo’lsa, yuqoridagi ikki shartning bajarilishi ravshan. 2. Ikkala shart bajariladi deb faraz qilamiz. Bu holda, H qism gruppa ekanligini ko’rsatamiz.

1) Ravshanki, G da aniqlangan algebrik amal H da ham algebraik amaldan iborat bo’ladi.

2) 2 - shart bo’yicha hH uchun mavjud 1 - shartga muvofiq dir. Demak, H da h ga simmetrik element mavjud.

3) hH element uchun G da h_*e=h bo’lganidan H da ham h_*e=h bo’lishi lozim.

Demak, H to’plam gruppaning birinchi ta’rifini qanoatlantiradi. Shu sababli, u G da qism gruppadan iborat.

Misollar 1) Juft sonlar additiv gruppasi butun sonlar additiv gruppasi Z ning qism gruppasi bo’ladi. Chindan ham juft sonlar additiv gruppasini H va butun sonlar additiv gruppasini G desak, HG ekanligi ravshan. Shu bilan birga H yuqoridagi teoremaning ikki shartini qanoatlantiradi: 2 m, 2 nH uchun 2 m+2 nH va 2 mH bilan bir qatorda -2 mH dir.

2) Ratsional sonlar multiplikativ gruppasi haqiqiy sonlar multiplikativ gruppasidagi qisim gruppani ifodalaydi (isbotlang).

6. Halqa va maydon
Faraz qilaylik, K to’plamda ikkita algebraik amal aniqlangan bo’lsin. Bu amallardan biri + belgisi bilan tasvirlanib qo’shish, ikkinchisi ^. belgi bilan tasvirlanib ko’paytirish amallari bo’lsin.

1 - ta’rif. Agar quyidagi shartlar bajarilsa, K to’plam qo’shish va ko’paytirish amalariga nisbatan halqa deb ataladi

1. Qo’shish amli kommutativlik xossasiga ega, ya’ni a, bK uchun a+b=b+a o’rinli.

2. Qo’shish va ko’paytirish amallari assosiativlik xossasiga ega, ya’ni a,b,cK uchun (a+b)+c=a+(b+c) va (ab)c=a(bc) o’rinli.

3. Qo’shishga teskari amal mavjud, ya’ni a,bK uchun a+x=b teglama K da echimga ega.

4. Ko’paytirish amali qo’shish amaliga nisbatan distributivlik xossasiga ega, ya’ni a,b,cK uchun a(b+c)= ab+ac va (b+c)a=ba+ca.

Shuni ta’kidlab o’tamizki, K halqa elementlarini qushish va ko’paytirish amallari K halqada aniqlangan bo’lgani uchun har bir a ba b elementlar uchun a+b va a^.b bir qiymatli aniqlangan bo’lib, ular shu K to’plamga tegishli bo’lishi kerak.

2-ta’rif Agar K halqada ko’paytirish amali kommutativ bo’lsa, ya’ni a, bK uchun ab=ba bo’lsa, K -kommutativ halqa deb ataladi.

3-ta’rif. Agar K halqadagi amallar qo’shish va ko’paytirishdan iborat bo’lib, uning elementlari sonlar bo’lsa, uni sonli halqa deb ataladi.

Misollar. 1. Z to’plam qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil etadi, chunki, halqa ta’rifidagi 1-4 shartlar bajariladi (tekshiring).

2. x o’zgaruvchining R[x] ko’phadlari to’plami qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi.

Haqiqatdan, R[x] to’plamda ko’phadlarni qo’shish va ko’paytirish amllari algebraik amallar bo’ladi, chunki bu amallar natijasida yana ko’phad hosil bo’lib u R [x] to’plamga tegishli. Osongina ishonch hosil qilish mumkinki bunda halqaning 1-4 shartlari bajariladi. Haqiqatdan, R[x] to’plamdagi

f(x)=a₀ xⁿ+a₁x^n-1+... +a_n

g(x)=b₀ xⁿ+b₁x^n-1+... +b_n

(x)=c₀ xⁿ+c₁x^n-1+... +c_n

ixtiyoriy ko’phadlarni qarasak,

1⁰. f(x) +g(x)=g(x) + f(x)

2. (f(x)+g(x))+(x)=f(x)+(g(x)+(x))

(f(x)g(x))(x)=f(x)(g(x)(x))

3. f(x)+X=g(x) tenglama R [x] da echimga ega, chunki, X=g(x)-f(x) R[x].

4. f(x)(g(x)+(x))=f(x)g(x)+ f(x)(x) tengliklar o’rinli bo’ladi.

Demak, halqa ta’rifidagi shartlar bajariladi. R[x] ko’phadlar to’plami qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi. Bundan tashqari, f(x)∙g(x)=g(x)∙f(x) tenglik ham o’rinli bo’lgani uchun R[x] to’plam kommutativ halqa tashkil qiladi.

3. [a,b] segmentda uzluksiz funksiyalar to’plami F ni qaraymiz. F da ikkita uzluksiz f(x) va g(x) funksiyalar yig’indisi f(x)+g(x) va ko’paytmasi f(x).g(x) yana F to’plamda uzluksiz funksiyalardan iborat bo’ladi. Demak, funksiyalarni qo’shish va ko’paytirish F da algebraik amallardan iborat bo’ladi. Bu amallar uchun 1-4 shartlarning bajarilishini va ko’paytirish amalining kommutativlik xossasiga egaligini osongina tekshirish mumkin. Demak, F to’plam kommutativ halqa tashkil qilar ekan.

4. n-tartibli matritsalar to’plami M matritsalarni qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi. Matritsalarni qushish amali algebraik amal bo’lib, uning kommutativlik va assosiativlik xossalariga ega ekanligini ko’rgan edik. Ko’paytirish amali ham algebraik amal bo’lib bu amal kommutativlik xossasiga ega emas (tekshirib ko’ring).

5. n-tartibli matritsalar to’plami M matritsalarni qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil etishini ko’rish qiyin emas. U kommutativ bo’lmagan halqa tashkil etadi (ko’rsating).

Endi halqa ta’rifidan kelib chiqadigan xulosalarni ko’rib chiqamiz.

1. 2 shartdan halqaning bir nechta elementlarini qo’shish va ko’paytirish tushunchalari kelib chiqadi:

a₁+a₂+a₃=(a₁+a₂)+a₃=a₁+(a₂+a₃)

a₁+a₂+a₃+a₄=(a₁+a₂+a₃)+a₄, a₁+a₂+.....+a_n-1+a_n=(a₁+a₂+....+a_n-1)+a_n

xuddi shuningdek

a₁.a₂.a₃=(a₁.a₂).a₃

a₁a₂a₃a₄=(a₁a₂a₃)a₄

a₁a₂....a_n-1a_n=(a₁a₂....a_n-1).a_n.

Bu kabi qo’shish va ko’paytirishlar yagona usul bo’lmasdan qavslarning o’rnini istalgancha o’zgartirish mumkin (qo’shiluvchi va ko’paytuvchilarning tartibini o’zgartirmagan holda). Masalan,

a₁+a₂+a₃=a₁+(a₂+a₃)=(a₁+a₂)+a₃

2. Halqada butun musbat daraja tushunchasini kiritish mumkin: aK sonning n - darajasi deb ko’paytmaga aytiladi va aⁿ deb belgilanadi: a sonning o’zi a¹ deb qaraladi.

Halqada butun musbat darajalar uchun darajalar ustidagi odatdagi amallar qoidasi o’rinli ekanligini tekshirish oson:

aⁿ a^m=a^maⁿ=a^n+m, (aⁿ)^m=a^nm. Agar K kommutativ halqa bo’lsa, (ab)ⁿ=aⁿbⁿ qoida ham o’rinli bo’ladi (tekshirib ko’ring).

3. 3-shartdan shunday c son tanlash mumkinligi kelib chiqadiki, bunda K ning ixtiyoriy b elementi uchun b+c=b tenglik bajariladi, ya’ni c element 0 vazifasini bajaradi. K halqaning y elementi nol deb ataladi, agar, uning ixtiyoriy a elementi uchun a+y=a tenglik bajarilsa. Halqada nol element yagona bo’ladi va u_o deb belgilanadi.

Endi a+x=b tenglamani qanday yechish kerakligini aniqlash mumkin. Bu tenglamaning har tarafga -a ni qo’shsak, yagona x=b+(-a) yechimga ega bo’lamiz. Bu yechim b-a kabi yoziladi va u a va b sonlarning ayirmasi deyiladi. Demak, K haqida ayirish amali bir qiymatli bajariladi. Ravshanki, a-a=0, 0-a=-a bo’ladi. K halqada 0 dan boshqa bir deb ataluvchi element ham mavjud. K halqaning bir elementi deb shunday e0 elementga aytiladiki, bunda ixtiyoriy aK element uchun ae=ea=a o’rinli bo’ladi. K halqada bir degan element ham yagona bo’ladi.

Endi maydon tushunchasi bilan tanishamiz.

4-ta’rif. Hech bo’lmaganda, bitta noldan farqli elementga ega bo’lib, a0 va b lar uchun ax=b tenglama yechimga ega bo’lgan kommutativ K halqa maydon deb ataladi.

Ta’rifdan ko’rinadiki, maydonda bo’lish amali ham bajariladi (nolga bo’lish mumkin emas). Maydon nol va qarama-qarshi elementlardan tashqari, bir va teskari elementlarga ham ega bo’ladi. P maydonda birlik element deb, ae=ea=a tenglikni qanoatlantiruvchi e elementga aytiladi.

ax=e tenglamaning yagona yechimini a^-1 yoki deb belgilandi va uni a ga teskari element deb ataladi, bunda e birlik element.

Umumiy holda, ax=b tenglamaning yechimini topish uchun uning har ikkala tomonini a^-1 ga ko’paytiramiz: x=ba^-1= simvol izlangan yechim bo’ladi. Bu simvol ustida bajariladigan amallar kasrlar ustida bajariladigan amallardan farq qilmaydi ya’ni:

1. o’rinli faqat va faqat ac=bd (a0, 0) o’rinli bo’lsa.

2. (qo’shish qoidasi) (a0, c0).

3. (ko’paytirish qoidasi) (a0, c0)

4. (bo’lish qoidasi) (a0, c0, d0)

Maydonda butun musbat darajadan tashqari, manfiy daraja tushunchasi ham kiritladi, ya’ni agar a0 bo’lsa, (a^-1)^k=a^-k deb olinadi. Oson ishonch hosil qilish mumkinki, noldan farqli sonlar uchun quyidagi munosabatlar o’rinli bo’ladi:

a^m aⁿ=aⁿ a^m=a^m+n, (a^m)ⁿ=a^nm,

(ab)ⁿ=aⁿ bⁿ.

P maydon quyidagi xossaga ega:

Agar, P maydonning a va b elementlari ko’paytmasi ab nolga teng bo’lsa, ko’paytuvchilarning hech bo’lmaganda biri nolga teng bo’ladi.

Bu juda oson isbotlanadi: faraz qilaylik, a0 bo’lsin. ab=0 tenglikning har ikkala tomonini ga ko’paytirib b=0 ga ega bo’lamiz.

Elementlari sonlardan iborat bo’lgan maydon sonli maydon deyiladi.

X to’plamning maydon tashkil etishini tekshirish uchun, avvalo, uning halqa tashkil etishiga ishonch hosil qilish va so’ngra har bir noldan farqli element uchun teskari element mavjudligini ko’rsatish kerak.

Misollar. 1. Maydonlarning eng sodda misoli sonlar maydoni bo’lib, xususan, ratsional sonlar to’plami, haqiqiy sonlar to’plami maydon tashkil etadi (bu to’plamlarda qo’shish, ko’paytirish, ayirish va bo’lish amallari bajariladi).

2. Butun sonlar to’plami Z maydon tashkil etmaydi.

Haqiqatdan, osongina ishonch hosil qilish mumkinki, Z to’plam halqa tashkil etadi. Lekin, butun sonlar to’plamida bo’lish amali hamma vaqt bajarilavermaydi (butun sonlar nisbati hamma vaqt butun son bo’lmaydi), boshqacha qilib aytganda, ax=b (aZ, Z) tenglama yechimi Z to’plamga tegishli bo’lmasligi mumkin. Demak, maydon ta’rifidagi oxirgi shart bajarilmaydi. Shuning uchun Z to’plam maydon tashkil qilmaydi.