Algebraik aniqlik darajasi eng yuqori bo’lgan formulalar

2-teorema. Agar (х) vazn [a, b] oraliqda o`z ishorasini saqlasa, u holda x<sub>k</sub> va A<sub>k</sub> lar har qanday tanlanganda ham (3.1) tenglik 2n darajali barcha ko`phadlar uchun aniq bo`la olmaydi.
Isbot. Kvadratur formulaning tugunlarini х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub>, ..., х<sub>п</sub> lar orqali belgilab, quyidagi
f(x) = = [(х – х<sub>1</sub>)(х - х<sub>2</sub>)...(х – х<sub>n</sub>)]<sup>2</sup>
2n - darajali ko`phadni qaraymiz.
Ko`rinib turibdiki, (3.1) formula bu ko`phad uchun aniq emas, chunki

va ixtiyoriy А_к koeffisiyentlar uchun
2. Gauss tipidagi kvadratur formula koeffisiyentlarining xossasi. Gauss tipidagi kvadratur formulaning barcha koeffisiyentlari А_к musbatdir. Haqiqatan ham, 2n-2 darajali


f(x)=

ko`phad uchun quyidagi

t engliklar bajarilishi ayondir. Bu ko`phad uchun Gauss tipidagi formula aniqdir:

Bundan A = (3.4)
O`z navbatida bundan barcha А_к larning musbatligi kelib chiqadi.
3. Gauss tipidagi kvadratur formulalarning qoldiq hadi
3 -teorema. Agar [a,b] oraliqda f(x) funksiya 2n - tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lsa, u holda shunday nuqta topiladiki, Gauss tipidagi kvadratur formulaning qoldiq hadi

uchun quyidagi tenglik o`rinlidir:

R_n(f)= (3.5)
Isbot. Ushbu shartlarni qanoatlantiruvchi Ermit interpolyatsion ko`phadi H(x) ni tuzamiz. Funksiyalarni interpolyatsiyalash formulasiga ko`ra Ermit interpolyatsion formulasi qoldiq hadi bilan birga quyidagicha yoziladi:
(3.6)
bu yerda х ga bog`liq bo`lib, x va interpolyatsiya tugunlari х , х₂, ...,х_n
joylashgan oraliqda yotadi. Agar [a, b] ni hisobga olsak, u holda [a, b]. Endi (3.6) ning har ikki tomonini (х) ga ko`paytirib, a dan b gacha integrallaymiz:

(3.7)

Oxirgi integralning mavjudligi holgan ikki integrallarning mavjudligidan kelib chiqadi. H(x) kop`hadning darajasi 2n-1 bo`lgani uchun, o`ng tomondagi birinchi
i ntegralni

k vadratur yig`indi bilan almashtirish mumkin:

B undan ko`rinadiki,
Endi (х) (x) ekanligini nazarda tutib, o`rta qiymat haqidagi umumlashgan teoremani qo`llasak, qoldiq had uchun (3.5) formula kelib chiqadi.