Algеbraik opеratsiya tushunchasi va uning xossalari: kommutativlik, assotsiativlik, distributivlik va qisqaruvchanlik. Nеytral, yutuvchi va simmеtrik elеmеntlar

Algеbraik opеratsiya tushunchasi va uning xossalari: kommutativlik, assotsiativlik, distributivlik va qisqaruvchanlik. Nеytral, yutuvchi va simmеtrik elеmеntlar.
Reja:

1. 
   Algebraik operatsiyalar tushunchasi.
   

2. Algebraik amallarning xossalari.

1. 
   Assotsiativlik xossasi.
   
2. 
   Kommutativlik xossasi.
   
3. 
   Distributivlik xossasi.
   

Ma’ruza matni.
1. Maktab matematika kursida sonlar ustida qo`shish, ko`paytirish, bo`lish, ayirish kabi amallar o`rganiladi. Bu amallar bir qator xossalarga ega. Masalan, musbat butun sonlar to’plamida sonlarni qo`shish va ko`paytirish amali bajariladi, chunki bu amallarni bajarishdan chiqqan natija son musbat butun son bo`ladi. Shuningdek qo`shish va ko`paytirishda sonlarni o`rni almashishi bilan natija o`zgarmaydi.


Musbat butun sonlar to’plamida ayirish va bo`lish amallari hamma vaqt bajarilmaydi, chunki sonlarni ayirish natijasida ba’zida manfiy, bo`lish natijasida kasr son hosil bo`ladi. Shuningdek ushbu to’plamda sonlarni ayirish va bo`lishda sonlarni o`rnini almashtirish mumkin emas.


Demak musbat butun sonlar to’plamida sonlarni qo`shish va ko`paytirish o`rin almashtirish xossasiga bo`ysinadi, ayirish va bo`lish esa ushbu xossaga bo`ysinmaydi.
Amallar va ularning xossalarini faqat sonlar to’plami uchungina emas, balki boshqa matematik ob’yektlar uchun ham qarash mumkin. Masalan, to’plamlar, mulohazalar, almashtirishlar. To’plamlar ustida to’plamlarning birlashmasi, kesishmasi amallari bajariladi va bu amallar o`rin almashtirish xossasiga bo`ysinadi.

Sonlar, to’plamlar, mulohazalar va shu kabi matematik ob’yektlar ustida amallar bajarish jarayonida birorta to’plamning ixtiyoriy ikkita elementiga shu to’plamning uchinchi bir elementi mos qo`yiladi. Sonlar va matematik ob’yektlar ustida bajariladigan amallar algebraik amal deb yuritiladi.
1-ta’rif. Berilgan to’plamning ixtiyoriy elementlaridan tuzilgan tartiblangan juftlikka, shu to’plamning uchinchi bir elementini mos qo`yuvchi akslantirish mavjud bo`lsa, to’plamda algebraik operatsiya berilgan deyiladi.
to’plamida dekart ko`paytma berilgan bo`lsa, juftlik dekart ko`paytmadan, esa to’plamidan olingan bo`lib, dekart ko`paytma akslanadi.
Demak, to’plamda berilgan akslantirish algebrik operatsiya bo`lib, element operatsiyaning birinchi, element operatsiyaning ikkinchi komponenti, esa uning natijasi deyiladi.
Biz yuqorida ko`rinishdagi dekart ko`paytmani to’plamga akslantirishni ko`rdik, ya’ni dan olingan elementlar juftligiga bitta elementni mos qo`ydik. Bunday akslantirish vositasida berilgan algebraik operatsiyaga binar («bis» lotincha – «ikki» ma’nosini bildiradi) algebraik amal deyiladi. Matematikada ko`p hollarda

ko`rinishdagi dekart ko`paytmani to’plamiga akslantirish bilan berilgan algebraik operatsiyalar ham mavjud.
unar (lotincha «unus»-bir)
binar
ternar
………………
-nar operatsiya deb yuritiladi.
Algebraik operatsiyalarga misollar:
1-misol. Natural sonlar to’plamida qo`shish amali algebraik operatsiyadir, chunki uchun hamma vaqt topiladi.
2-misol. Natural sonlar to’plamida ayirish amali algebraik amal bo`la olmaydi, chunki ixtiyoriy ikkita sonni ayirishdan chiqqan natija hamma vaqt natural son bo`lmaydi.
3-misol. Juft sonlar to’plamida qo`shish amali algebraik operatsiyadir, chunki ikki juft sonning yig`indisi yana juft son bo`ladi. Toq sonlar to’plamida qo`shish amali algebraik operatsiya bo`la olmaydi, chunki natija juft son chiqadi.
- juft son.
4-misol. Butun sonlar to’plami da qo`shish, ayirish, ko`paytirish amali algebraik operatsiyadir. Bo`lish amali esa algebraik amal bo`la olmaydi, chunki ba’zi bir hollarda bo`lish natijasida kasr son chiqadi.
Natural sonlar to’plamida ayirish amali hollarda bajariladi ayirma musbat butun son bo`ladi. Yuqoridagi shartlarga mos qo`yilgan sonlar to’plami natural sonlar to’plamining qism to’plami bo`ladi, ya’ni shartga bo`ysinuvchi va sonlar jufti akslantirilgan sonlardan iborat to’plam natural sonlar to’plamiga tegishli bo`ladi. Natural sonlar to’plamida bo`lish amaliga nisbatan ham ushbu mulohazalarni yuritish mumkin.
Shunga qaramasdan natural sonlar to’plamida ayirish va bo`lish amali algebraik amal bo`la olmaydi. Bunga o`xshagan hollar uchun algebraik amal tushunchasiga kengroq nuqtai nazardan yondashish mumkin.
Binar algebraik operatsiya ta’rifi:
Bo`sh bo`lmagan S to`plamdagi binar algebraik operatsiya * deb : S × S → S akslantirishga aytiladi va s * s’ yoki * (s, s’) ko`rinishda belgilanadi. Ko`p sonly misollar keltirish mumkin:

• 
  Z, Q, R, C to`plamlarda “+” va “×”operatsiyalari;
  
• 
  I – irratsional sonlar to`plamida “+” va “×”operatsiyalari binary algebraik operatsiya bola olmaydi;
  
• 
  R da ayirish va bo`lish amallari binar algebraik operatsiya bo`ladi;
  
• 
  A to`plam va uning barcha qism to`plamlari berilgan bo`lsin. Qism to`plamlarning kesishmasi “∩”, birlashmasi, ayirmasi “∕” va simmetrik ayirmasi “∆” amallari binar algebraik operatsiya bo`ladi:
  
• 
  S to`plamdagi barcha o`pin almashtirishlar ham binar algebraik operatsiya bo`ladi;
  

To`plamning algebraik operatsiyaga nisbatan yopiqligi haqida. Bo`sh bo`lmagan S to`plamda binar algebraik operatsiya * aniqlangan va Ø = T _{ } bo`lsin. T * algebraik operatsiyaga nisbatan yopiq deyiladi, agar t * t’ <sub> </sub> va t, t’ <sub> </sub> bo`lsa.
Bu yerda qism to`plamning yopiqligi haqida so`z yuritilayotganiga e’tibor qaraqting.
Misollar:

• 
  R haqiqiy sonlar to`plami bo`lsa, uning qismlari Z va Q qo`shish va ko`paytirish amallariga nisbatan yopiq bo`ladi.
  
• 
  Manfiy haqiqiy sonlar to`plami ko`paytirish amaliga nisbatan yopiq emas.
  
• 
  Z _{ } to`plam berilgan bo`lsin. Uning qo`shish va ko`paytirish amallariga nisbatan yopiq bo`lishini oson ko`rsatish mumkin. Masalan ko`paytirish uchun: a, b, c, d <sub> </sub> bo`lsa, (a + b_{ }) ∙ (c + d_{ }) = (ac + 5bd) + (ad + bc) _{ } bo`ladi.¹