Algеbraik opеratsiya tushunchasi va uning xossalari: kommutativlik, assotsiativlik, distributivlik va qisqaruvchanlik. Nеytral, yutuvchi va simmеtrik elеmеntlar

2. Algebraik amallarning xossalari.
Algebraik amallar kommutativlik, assotsiativlik, distributivlik, qisqaruvchanlik, teskaruvchanlik, neytral va yutuvchi elementlarning mavjudligi va simmetrik elementning mavjudlik xossalariga ega.
a)Assotsiativlik xossasi.
Algebraik amallar xossalari ayniy shakl almashtirish, ayniy almashtirishlar bilan bevosita bog`liqdir. Ayniy almashtirishlarni bitta algebraik amalga nisbatan qarab chiqaylik va bu algebraik amalni (*) ko`rinishida belgilaylik.
Ifodalar ustida ayniy shakl almashtirishni bajarish jarayonida alebraik amallarning assotsiativlik xossasidan foydalaniladi. to’plamda * algebraik amal berilgan bo`lsin.
1-ta’rif. to’plamidan olingan ixtiyoriy elementlar uchun munosabat o`rinli bo`lsa * algebraik amal to’plamda assotsiativlik xossasiga ega deyiladi.
Misollar ketiramiz.
1) Natural sonlar to’plamida qo`shish va ko`paytirish amallari assotsiativlik xossasiga ega.

2) Qo`shish va ko`payritish amallari ixtiyoriy sonlar to’plamida assotsiativlik xossasiga ega.
3) To’plamlarni kesishmasi va birlashmasi assotsiativlik xossasiga bo`ysinadi.


4) Butun sonlar to’plamida ayirish amali assotsiativlik xossasiga bo`ysunmaydi.

5) Musbat butun sonlar to’plamida bo`lish amali assotsiativ emas.


Agar berilgan to’plamda * algebraik amal uchun assotsiativlik xossasi o`rinli bo`lsa, elementlardan va * algebraik amal vositasida qavslar qo`yish orqali tuzilgan turli ifodalar bir xil son qiymatiga ega bo`ladi. Shuning uchun bir qancha sonlarni qo`shish va ko`paytirish amallarini bajarish jarayonida qavslar ishlatilmaydi.
b) Kommutativlik xossasi.
Biz yuqorida assotsiativlik xossasi o`rinli bo`lgan * algebraik amal vositasida hosil qilingan ifodalarda qavs ishlatmaslik mumkin ekanligini ko`rdik.
Ammo bunday ifodalarda kom’onentalarning o`rnini almashtirish umuman olganda mumkin emas, shuning uchun ifoda bilan ifodalarni ayni bir xil ifodalar deb bo`lmaydi.
Bu ifodalar ayniy ifodalar bo`lishi uchun algebraik amal assotsiativlik va kommutativlik xossalariga bo`ysinishi lozim.
2-ta’rif. Berilgan to’plamning ixtiyoriy ikkita va elementlari uchun * algebraik amalda tenglik bajarilsa * algebraik amal kommutativ deyiladi.
Kommutativlik xossasiga ega bo`lgan * algebraik amal vositasida hosil bo`lgan ifoda bilan ifoda bir xil natijaga ega bo`ladi, bu yerda . Natural sonlar to’plamida qo`shish amali uchun kommutativlik amali o`rinli.

Natural sonlar to’plamida ko`paytirish amali uchun kommutativlik xossasi o`rinli.

Haqiqiy sonlar to’plami da qo`shish va ko`paytirish amallari kommutativdir.
Butun sonlar to’plami da ayirish amali kommutativlik xossasiga bo`ysinmaydi.

Musbat ratsional sonlar to’plami da bo`lish amali uchun kommutativlik xossasi o`rinli emas.

4.