Algebraik sistemaga

MISOLLAR.
1. (N;  ) algebraik sistema multiplikativ monoid bo‘lishini ko‘rsatish oson. additiv yarimgruppa monoid bo‘lmaydi, chunki N to‘plamda qo‘shish amaliga nisbatan neytral element mavjud emas.
Aytaylik (A; *) yarimgruppa bo‘lsin, u holda:
" (a₁ a_z,...,a_n Î A) a₁ * a₂ *... *a_n (1)
belgini
a₁ * a₂ *... *a_n=( a₁ * a₂ *... *a_n-1)* a_n
ma’nosida tushuniladi.
Agar * amal + (qo‘shish) dan iborat bo‘lsa, (1) ni qisqacha
ko‘rinishda, * amal  (ko‘paytirish) dan iborat bo‘lsa, ko‘rinishda belgilaymiz. Demak,
= a₁+ a₂+...+a_t=( a₁+ a₂+...+a_t-1)+ a_t (2)
= a₁ a₂... a_t=( a₁ a₂... a_n-1) a_n (3)
Xususiy holda a₁=a₂=a_n=a bo‘lsa, u holda (2) na=(n-1)a+a, (3) esa aⁿ=a^n-1a ko‘rinishga keladi.
Algebraik sistema xususiy ko‘rinishlaridan biri .gruppa tushunchasi bo‘lib, u matematika va uning tatbiqlarida muhim ahamiyatga ega.
3.4-TA’RIF. G to‘plamda aniqlangan * binar amal quyidagi shartlar (gruppa aksiomalari) ni qanoatlantirsa:
1⁰.: " (a,b,cÎG) a*(b*c)=(a*b)*c;
2⁰. :  (eÎG) " (aÎG) a*e=a;
3⁰.: " (aÎG)  (aÎG) a*a'=e.
u holda G=(G;*, e) algebraik sistemani gruppa deyiladi.
Agar yuqoridagi 1⁰-3⁰ shartlarga qo‘shimcha ravishda yana
4⁰ " (a,bÎG) a*b=b*a bo‘lsa, u holda, G ni kommutativ gruppa yoki Abel’ gruppasi deyiladi. Agar G chekli to‘plam bo‘lsa, G ni chekli gruppa G ning elementlari soni G gruppashng tartibi deyilada. Agarda G cheksiz to‘plam bo‘lsa, G gruppaning tartibi cheksiz deyiladi.
Agar * binar amal + (qo‘shish) dan iborat bo‘lsa, (G;+ , 0) gruppani additiv deyiladi. Bu holda " (a,bÎG) a*b=a+b ko‘rinishda yoziladi va uni a va b elementlarni -yig‘indisi deyiladi. Agar * amal  (ko‘paytirish) amalidan iborat bo‘lsa, (G;  , 1). ni multiplikativ gruppa deyiladi, a*b ni a-b yoki ab ko‘rinishda belgilanadi hamda a va b elementlarning ko‘paytmasi deyiladi.
MISOLLAR. 5. A={x,y}- ikki elementli to‘plam, G={₁,j₂} - A
ni A ga biektiv akslantirishlar to‘plami bo‘lib, j₁(x)=x, j₁(y)=y j₂(x)=y, j₂(.y)—x, ko‘rinishda berilgan va ⁰ akslantirishlarning ko‘paytmasi (kompozitsiyasi)dan iborat bo‘lsin, u holda (G; ⁰ ', j₁) algebraik sistema Abel’ gruppasi bo‘ladi.
 haqiqatan ham, gruppaning 1⁰ aksiomasining bajarilishini bevosita tekshirib ko‘rish mumkin.
Masalan [(j₂oj₁)oj₂](x)=(j₂oj₁)oj₂(x)=(j₂oj₁)(y)=