Алгебраик тенгламаларнинг ечимини топиш муаммоларини ўрганиш

ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2014, 8
5. «Квадратлар ва сон илдизларга тенг»
,
(5)
мисол учун 
.
6. Илдизлар ва сон квадратларга тенг:
,
(6)
мисол учун, 
.
Ал-Хоразмий (1)–(6) тенгламаларни ечиш-
нинг алгоритмини риторик усулда баён қилган 
ва у ҳозирги кунда
(7)
тенгликнинг ечимини берувчи
(8)
формула билан бир хилдир.
Риторик усулда тенглама қуйидагича баён 
қилинган: квадрат ва 10 та илдиз 39 дирҳамга 
тенг (дирҳам қадимги юнон тангаларининг 
номи бўлиб, дастлаб афиналик аскарнинг кун-
лик маоши миқдорига тенг бўлган), яъни гап 
кўринишидаги тенглама ҳақида 
бормоқда.
Бу тенгламанинг ечимини Ал-Хоразмий 
қуйидагича баён қилади: «Илдизлар сонини 
2 га ажрат, 5 ҳосил бўлади, уни ўзига тенг сон-
га кўпайтир, 25 ҳосил бўлади. Ўттиз тўққизни 
унга қўш 64 бўлади. Ундан илдиз чиқар, 8 
бўлади ва ундан илдизлар сонининг ярмини 
айир, 3 бўлади. Шу 3 сони квадрат тенглама 
илдизи бўлади». Ҳақиқатан ҳам, 
Тенгламанинг иккинчи илдизи – 13 ҳақида 
Ал-Хоразмий ҳеч нарса демаган.
Шундай қилиб, 
ва 
тенгламаларни ҳеч қандай формулаларсиз, 
маълум бир қадамлар кетма-кетлигини қўллаб 
хаёлда ечиш мумкин бўлган.
Ҳозирги кунда сонларни ифодалашда биз 
фойдаланиб келаётган 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
рақамлари Ҳиндистондан кириб келган ва у 
ерда 0 рақами бўлмаган. «Нол бу ҳеч нарса, 
– деб ёзади Ал-Хоразмий, – ҳеч нарса бўшлиқ 
эмас». Ал-Хоразмий 0 нинг заруриятини айи-
риш амали орқали қуйидагича асослайди: 
«агар айиришда ҳеч нарса қолмаса разряд 
бўш қолмаслиги учун доирача қўй, агар ҳеч 
нарса ўрнига 0 қўймасанг, у ер бўш қолади 
ва разрядлар камаяди ва навбатдаги иккин-
чи разряд биринчи разряд бўлиб қолади ва 
сен ҳисобда адашасан» дейди. Демак, нол бир 
томондан разряд. 0 белгиси биринчи марта 
Ал-Хоразмий томонидан киритилган. Қадимги 
Грецияда, Ҳиндистонда, Кампучияда ҳеч нарса 
маълум бир белги билан белгиланган, маса-
лан, нуқта билан.
Ал-Хоразмий томонидан 0 белгисининг 
киритилиши катта сонларни ёзиш имконини 
берди ва X–XI асрларда араблардан Европага 
ўтди ҳамда математиканинг ривожланишида 
асосий ўринни эгаллади.
Шундай қилиб, ҳозирги кунда қўллани-
ладиган ўнлик позицион системасининг асос-
чиси Ал-Хоразмий ҳисобланади. Бу ҳақда 
муҳтарам Президентимиз ўзларининг «Юксак 
маънавият – енгилмас куч» асарларида қуйидаги 
фикрларини билдирганлар: «... Муҳаммад 
Мусо Хоразмийнинг ўнлик саноқ системасини, 
алгоритм ва алгебра тушунчаларини дунёда 
биринчи бўлиб илм-фан соҳасига жорий этга-
ни ва шу асосда аниқ фанлар ривожи учун ўз 
вақтида мустаҳкам асос яратгани умуминсоний 
тараққиёт ривожида қандай катта аҳамиятга 
эга бўлганини барчамиз яхши биламиз»
1
.
Шуни ҳам эслатиб ўтамизки, натурал сон-
ларни ёзишда ўнта араб рақамлари билан бир 
қаторда, бундан деярли 2500 йил олдин топил-
ган рум (Рим) рақамларидан ҳам фойдалани-
лади:
I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, 
M – 1000.
Қолган натурал сонлар шу рақамлар орқали 
ёзилади.
Мисол учун, рум рақамлари билан ёзилган 
XXXVIII ифодаси 38 сонини ифодалайди, чунки 
10+10+10+5 +1+1+1=38.
Агар қиймат жиҳатидан кичик бўлган рақам 
каттасидан олдинда турса, унинг қиймати кат-
тасининг қийматидан айрилади. Масалан:
IV = 4 (5–1=4); IX = 9 (10–1=9);
XL = 40 (50–10=40); XC = 90 (100–10=90).
Бу қоидаларга асослансак, MCMLVII ифодаси 
1957 сонини ифодалайди, чунки 1000+(1000–
100)+50+5+1+1=1957.
Ҳозирги кунда рум рақамларидан асосан 
китобларнинг бўлим ва бобларини, йил ойла-
рини тартиблашда фойдаланилади.
5000 йил аввал Қадимги мисрликлар бирни 
I, ўнни , юзни белгилари билан тасвирлаш-
1
Каримов И. А. Юксак маънавият – енгилмас куч. – Т.: 
«Маънавият», 2008. –С. 41.
56
МАКТАБ ТАЪЛИМИ / ШКОЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

---