Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi

2. Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun maksimum prinsipi 



 

 







 

 =

,

: 0,

* 0,

T

Q

x t

l

T

 to’plamni qaraylik.  

T

T

T

Q

Q \





 to’plamning chegarasi . 

Bizlar 





t

x

u ,   funksiyamiz  o’zining  max  qiymatiga 

T

  chegarada erishadi, agarda u issiqlik 

o’tkazuvchanlik tenglamasini qanoatlantirsa. 

Teorema  2.2  (max  qiymat  prinsipi):  Agar 





,

T

u x t

C Q









 , 

 

,

t

xx

T

u u

C Q



  va 

T

xx

t

Q

u

a

u

,

2



 

  bo’lsin,  u  xolda









max

,

max

, ,

T

Q

u x t

u x t





 

 

t

x

u

t

x

u

T

Q

,

min

,

min





 

bo’ladi. 

Isbot.  Bizlar  max  ga  chegarada  erishishini  ko’rsatishimiz  kerak.  Teskarisi:  faraz  qilamiz 





M

t

x

u





,

max

    va  shunday   





0

0

,

T

x t

Q



  mavjudki  ,  shu  nuqtada  funksiyaning  qiymati: 





0

0

,

,

0.

u x t

M

 







 Endi yangi 

 

t

x

v ,  funksiyani quyidagicha aniqdaymiz: 

 

 





0

2

,

,

t

t

T

t

x

u

t

x

v









                               (2.6) 

Bundan  quyidagi  tenglikni  xosil  qilish  oson: 









0

0

0

0

,

,

.

v x t

u x t

M









    Bundan  tashqari, 





T

t

,

0



 

bo’lganda 





0

2

2

t

t

T









 

 

bo’lganligi 

sababli 













2

2

,

max

,

max

0































M

t

t

T

t

x

u

t

x

v

 tengsizlik o’rinlidir. 

Demak shunday 





T

Q

t

x



1

1

,

 nuqta mavjudki, bu nuqtada 

 

t

x

v ,  funksiyamiz max ga erishadi. 

Ikki  marta    differensiallanuvchi  funksiyaning    maksimumnmng  zaruriy  shartiga  ko’ra 



















0

,

0

,

1

1

1

1

t

x

v

t

x

v

xx

t

.    Agar 

T

t 

1

 bo’lsa tengsizliklar qatiy bo’ladi. 

Endi biz (2.6) tenglikni ikkala tomonini  t  bo’yicha 2 marta  difftrentsiallashdan quyidagini 

xosil qilamiz: 

 

 

T

t

x

v

t

x

u

t

t

2

,

,







    

Endi  x  bo’yicha  2  marta  differensiallab  quyidagini  xosil  qilamiz: 









t

x

v

t

x

u

xx

xx

,

,



.  

Yuqorida yozilgan tengsizliklar sistemasidan quyidagi tengsizliklarni xosil qilamiz:  

















2

2

1

1

1

1

1

1

,

,

0

,

,

2

t

t

xx

xx

u x t

v x t

a v

x t

a u

x t

T







 



 

bu  esa  issiqlik  o’tkazuvchanlik  tenglamasiga  zid.  Biz  qarama-qarshilikga  keldik.  Demak 

bizlar  noto’g’ri  faraz  qilgan  edik.  Shuning  uchun 

 

 

t

x

u

t

x

u

T

Q

,

max

,

max





  va  birinchi  qism 

isbotladi. 

99 

 

Teoremaning  2-qismini  isbotlash  uchun   





t

x

u ,

  funksiyadan   









,

,

w x t

u x t

 

  

funksiyaga  o’tish  kerak.    Xosil  bo’lgan  funksiya  maksimumga  erishgan  nuqtalarda 





t

x

u ,

 

funksiya minimal qiymatlarga erishadi. Teorema isbotlandi. 

Chegaraviy masalalarga maksimum prinsipini qo’llasak, quyidagini xosil qilamiz.Endi  













 





 

 









 

 

2

1

2

,

0,

,

0,

0,

,

0,

,

,

,

, 0

,

0,

t

xx

u

a u

x

l t

T

u

t

t t

T

u l t

t t

o T

u x

x

x

l







































 

Shunda  









 





 

 

 





x

t

t

x

ma

t

x

u

l

x

T

t

T

t

Q

T







,

0

2

,

0

1

,

0

max

,

max

,

max

,

max









      

Bu tenglik oddiy fizikaviy ma’noga ega.  Sterjenning temperaturasi uning chegaralaridagi va 

boshlang’ich vaqt momentidagi temperaturasidan baland bo’lishi mumkin emas. 

3. Birinchi chegaraviy masalani yechimining yagonaligi. 

Teorema 2.3(yagonalik). Bizga 

   

t

x

u

t

x

u

,

,

,

2

1

  funksiyalar    





2

2

,

,

,

1, 2

i

T

T

u

u

C Q

C Q

i

x

t





















 

sinfdan olingan bo’lib,   bu funksiyalarning ikkalasi ham [2.1] chegaraviy masalaning yechimi 

bo’lsa, shunda quyidagi tenglik o’rinli: 

 

 

t

x

u

t

x

u

,

,

2

1



   

Isboti: Yangi 

 



t

x

v ,

 

 

t

x

u

t

x

u

,

,

2

1



 funksiya kiritamiz. Shunda 

 

T

Q

C

v 

   

 

T

xx

t

Q

C

v

v



,

  

bo’lishi aniq. 

 Bu  funksiyamiz quyidagi masalaning yechimi bo’ladi 

















 









 

2

,

0, ,

0,

0,

0,

0,

,

0,

,

, 0

0,

0,

t

xx

v

a u

x

l t

T

v

t

t

T

v l t

t

o T

v x

x

l

































 





t

x

v ,

    funksiya  uchun  max  prinsipining  barcha  shartlari      bajarilishi  aniq.  Demak  max 

prinsipini qo’llaganimizda  

















max

,

max

,

0

min

,

min

,

0

T

T

Q

Q

v x t

v x t

v x t

v x t























 













1

2

,

0

,

,

v x t

u x t

u

x t









  teorema  isbotlandi. 

4. Birinchi chegaraviy masala turg’unligi. 

Lemma  1.  Bizlarga 









1

2

,

va

,

u x t

u

x t     funksiyalar  berilgan  va  quyidagi  shartlar 

bajarilsin: 

2

2

,

,

,

i=1,2

i

i

i

T

T

u

u

u

C Q

C Q

x

t





























 

 va  





















 

















 

2

2

2

1

2

1

2

1

2

,

0, ,

0,

,

1, 2

0,

0, ,

0,

,

0, ,

,

, 0

, 0 ,

0,

i

i

u

u

a

x

l t

T i

t

x

u

t

u

t t

T

u l t

u

t t

o T

u x

u

x

x

l













































 

100 

 

o’rinli bo’lsa, shunda 

T

Q

  sohada  

 

 

t

x

u

t

x

u

,

,

2

1



. 

Isboti:  

Yana 













1

2

,

,

,

v x t

u x t

u

x t





 bunda 

 

, ,

T

t

xx

T

v

C Q

v v

C Q













 shu bilan birgalikda 





















 













2

,

,

0,

,

0,

0,

0,

0,

,

0,

,

, 0

0,

0,

t

xx

v

a u

x t

x

l t

T

v

t

t

T

v l t

t

o T

v x

x

l

































 

o’rinli. 

Endi  bizlar  max  prinsipining  2-qismidan  foydalanamiz: 









0

,

min

,

min







t

x

v

t

x

v

T

Q

      demak 

xulosa 







 



1

2

,

, ,

,

u x t

u x t

x t

Q





    

Lemma isbotlandi. 

Birinchi chegaraviy masalani yechimining  turg’unligi. 

Teorema 2.4 (turg’unlik). Bizga 



 



t

x

u

t

x

u

,

,

,

2

1

   funksiyalar berilgan va quyidagi  shartlar: 

2

2

,

,

,

i=1,2

i

i

i

T

T

u

u

u

C Q

C Q

x

t





























 













 





 

 









 

 

2

2

2

1

2

,

0, ,

0,

,

1, 2

0,

,

0,

,

1, 2

,

,

,

,

1, 2

, 0

,

0, ,

1, 2

i

i

i

i

i

i

i

i

u

u

a

x

l t

T i

t

x

u

t

t t

T i

u l t

t t

o T i

u x

x x

l i

























































 

o’rinli bo’lsa, shunda    

 

 

tenglik o’rinli 

Isboti: 

 



t

x

v ,

 

 

t

x

u

t

x

u

,

,

2

1



   almashtirish olamiz . 

Unda 

 

T

Q

C

v 

 

 

T

xx

t

Q

C

v

v



,

 

 

 





T

t

l

x

t

x

u

a

v

xx

t

,

0

,

,

0

,

,

2







 

Tengliklar o’rinli.      Quyidagicha almashtirish olamiz:  





 

 





 

 

 

 

 





0

,

max

,

max

,

max

2

1

,

0

2

2

1

2

,

0

2

1

1

1

,

0

































x

x

t

t

t

t

x

ma

l

x

T

t

T

t

 

Bu tenglikdan 

 







t

x

v ,

max

   kelib chiqadi. 

Demak 

 











t

x

v ,

,         to’g’ri  chiziqda  bajariladi: 



  

t

x

v ,

,





    va 

 







,

,t

x

v

  

fuksiyalar uchun 1-lemmani qo’llasak 

 

 













t

x

u

t

x

u

,

,

2

1

  

T

Q

  sohada bo’ladi. 

TEOREMA ISBOTLANDI.