Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi

Pedagogik masalalar: 

  Fanning masalalari va uning o’quv fanlar sistemasidagi o’rni va roli bilan tanishtirish; 

  O’quv fanning tuzulmasi va tavsiya etiladigan o’quv-metodik adabiyotlarni tasvirlash; 

  Fan  sohasida  metodik  va  tashkiliy  xususiyatlarini  ochib  berish,  baholash  shakli  va 

muddatlari; 

  Fan  ma`ruzasi  paytida  o’qitish  jarayonini  tashkil  qilishning  umumiy  bosqichlarini 

xarakterlab berish va umumiy sxemasini tushuntirish. 

  O’qitish texnologiyasi rivojlanishi perspektivasini xarakterlab berish;   

O’quv faoliyati natijalari: 

  Fan ma`ruzasi masalalari, maqsadlari va nomlari shakillanadi; 

  Matematik fizika tenglamalari doirasidagi yutuqlar yoritiladi; 

  Fan  sohasida  metodik  va  tashkiliy  xususiyatlari  hamda  baholash  shakli  va  muddatlari 

aytiladi  

  Fan  ma`ruzasida  o’qitish  jarayonini tashkil qilishning umumiy sxemasini kengaytirib 

xatakterlab beradi; 

  Fanning asosiy ta`riflarini  beradi, Matematik fizika tenglamalari fani ma`ruzalarining 

asosiy yo’nalishlari beriladi; 

  Nazariy bilimlarning to’liqligi, sistemaliyligi va harakatliyligi; 

  Amaliy mag’ulotlarni bajarishda o’rganilgan iboralarbilan ishlay olishligi; 

  1.2. Ma`ruzaning xronologik xaritasi 

 

  1 bosqich. O’quv mashg’ulotiga kirish  (10 daqiqa): 

 O’qituvchining  faoliyati:  tayyorgarlikni  tekshirish  (davomat,  konspektning  borligi;  o’ziga 

ishonch,  aniqligi,);  kerakli  materiallarni  tarqatish  (konspekt,  tarqatma  materiallar); 

ma`ruzaning  mavzusi  va  maqsadini  bayon  qilish;  o’quv  mashg’ulotning  rajasi  bilan 

tanishtirish;  kalit  iboralar  va  so’zlar,  kategoriyalar;  internet  saytlari  va  adabiyotlar  ro’yhati; 

o’quv natijalari  haqida aytish; 

 Talabalar  faoliyati:  o’quv  joyini  tayyorlash  (talabalar  borligi;  tashqi  ko’rinish;  o’quv 

materiallar  va  qo’llanmalar);  ma`ruzaning  mavzusi  va  maqsadi  bilan  tanishish;  o’quv 

materialini qabul qilishga tayyorgarlik ko’rish;  

 Shakillar, usular, uslublar: instruktaj; frontal so’rov; mustahkamlovchi so’rov. 

2 bosqich. Asosiy qism (60 daqiqa): 

 O’qituvchining  faoliyati:  mavzuga  kiritadi;  yangi  mavzuga  doir  o’tgan  fanlar  va 

mashg’ulotlarning  mavzularini  eslashga  chorlaydi;  ma`ruza  matnini  tarqatadi,  tanishishni 

taklif  etadi,  “Insert”  usuli  bilan  belgilar  qo’yishni  taklif  etadi;  birinchi  savol  bo’yicha  matn 

133 

 

o’qiladi;  qo’shimcha  o’quv  materiallarini  aytib  boorish  va  tushuncha  berish;  natural 

obektlarni  namnoyon  qilish  va  izohlash;  tushunarsiz  savollarni  aniqlash  va  tushintirish; 

birinchi savol bo’yicha nazar (shunday qilib qolgan savollarga ham); 

 Talabalar faoliyati: yangi mavzuda doir oldingi mashg’ulotlarda va fanlarda olgan bilimlarni 

mustahkamlaydi,;  har  bir kalit  ibora va terminlarni eshitib,  yozib  borib, konspekt qilib aytib 

borishadi;  “Insert”  usuli  bilan  belgilan  o’qiydilar,  aniqlik  kiritadilar,  savollar  beradilar  va 

o’zaro; 

 Shakillar, usular, uslublar: frontav so’rov blits-so’rov; aqliy hujum, “Insert” texnikasi. 

3 bosqich. Yakunlovchi qism (10 daqiqa) 

  O’qituvchining  faoliyati:  mavzu  bo’yicha  hulosa  qilish,  talabalarning  e`tiborlarini 

asosiylarda jalb qilish; qilingan ishning muhimligini aytib o’tish; alohida talabalarning 

bajarilgan  ishlarini  baholash;  o’zaro  baholashning  natijalarini  chiqarish;  o’quv 

mashg’ulotning  yutuqlik  darajasini  baholash  va  tahlil  qilish;  mustaqil  ish  uchun 

topshiriqlar; baho ko’rsatgichlari va me`zonlari; 

  Talabalar  faoliyati:  ishning  tahlili;  natijalarni  olish;  texnologik  bilimlarni  qo’llash; 

o’zaro baholashni o’tkazish,  yo’l qo’yilgan  hatolar bo’yicha tahlil  va aniqlik kiritish; 

mustaqil ish topshiriqlarini yozib olish;   

  Shakillar, usular, uslublar: guruhlarda ishlash, kartochkalarda topshiriqlar. 

1.3.  O’quv-metodik materiallar 

 

Ma`ruza rejasi: 

1. Garmonik funksiya  xossalari 

2. Garmonik funksiyalar uchun maksimum prinsipi. 

3. Dirixle ichki masalasining yechimi yagonaligi va turg’unligi  

4. Dirixle tashki masalasi yechimi yagonaligi.  Fazoda Dirixli tashki masalasi 

 

Tayanch  iboralar:  Garmonik  funksiya,  Dirixli  ichki,tashki  masalasi,    Fazoda  Dirixli  tashki 

masalasi  

 

1.3.1. Ma`ruza matni 

1.  Garmonik funksiya  xossalari 

Ta’rif.  Agar 

u

funksiya 

)

(

2



 C

u

  va 





x

  uchun 

0



u

  bo’lsa,



  sohada  garmonik 

deyiladi. 

1-xossa.Agar  v  funksiya Ω da garmonik  bo’lsa, u holda  











~

0



d

n

v

  bo’ladi, bu yerda  

~

: 

Ω da yotuvchi  ixtiyoriy  yopiq sirt. 

Isboti. 

~

  bilan  chegaralangan  soha  uchun  Grinning  1-formulasida  (3.2)

1



u

  ni  olamiz. 

(ravshanki,  u -garmonik funksiya) Demak  

0

~









d

dn

dv

 

2-xossa. (O’rta qiymat haqidagi teorema) 

u

 funksiya   



 da garmonik bo’lsin va  



 da yotuvchi markazi 

0

M  no’qtada radiusi  a ga 

teng ixtiyoriy 

a

  sfera uchun       







a

p

d

p

u

a

M

u





)

(

4

1

)

(

2

0

           (3.5) 

 

134 

 

 

formula o’rinli. 

Isbot.

а

  sferaning ichki sohasi uchun Grinning uchinchi formulasi (3.4) ni yozamiz:     

 















































a

a

a

d

n

u

a

ud

a

a

R

n

d

n

u

R

R

n

u

M

u

MM

MM

MM









2

2

2

0

1

1

}

1

)

1

(

{

]

1

)

1

(

[

)

(

4

0

0

0

 

 Garmonik funksiyaning  1-xossasiga ko’ra ikkinchi integral nolga aylanadi va shu bilan (3.5) 

formula isbotlandi. 

3-xossa  :    Agar  u  funksiya-  Ω  da    garmonik  bo’lsa,  u  holda  u  Ω 

da  cheksiz 

differinsiallanuvchi  bo’ladi.  

Isboti .   

)

,

,

(

)

(

0

z

y

x

u

M

u



,

)

)

,

,

(

(

a

z

y

x

P

P

P

P





 uchun Grinning 3-formulasini yozamiz.                                 

P

z

y

x

z

y

x

d

n

P

u

P

z

P

y

P

x

P

z

P

y

P

x

n

P

u

z

y

x

u





]

)

(

)

(

)

(

)

(

1

)

)

(

)

(

)

(

1

(

)

(

[

)

,

,

(

4

2

2

2

2

2

2









































(11.4) 

Ko’rinib  turibdiki:  agar  M  no’kta    ∑  ning    chegarasida  yotmasa,  u  holda  integral  tagidagi 

funksiya x (xudi shuday y va z ) argumentlari bo’yicha cheksiz differinsiallanuvchi. 

      Ma’lumki,  bu    holda  butun  integral,  demak,  u(M)    funksiya    ham  cheksiz 

differinsiallanuvchi funksiya. 

 

2 Garmonik funksiyalar uchun maksimum prinsipi. 

Teorema 11.1  (Maksimum prinsipi) 

Agar funksiya

)

~

(

 C

u

 va 



 da garmonik bo’lsa, bu holda u o’zining maksimum(minimum) 

iga  sohaning chegarasida erishadi .  

);

(

)

(

);

(

)

(

min

min

max

max

~

M

u

M

u

M

u

M

u

M

M

M

M





















 

Isboti: faraz qilaylik u(M) funksiya masalan, biror 

0

M  ichki no’qtada maksimumga erishsin: 

: 

)

(

)

(

max

~

0

M

u

M

u

M 





  u  holda  (11.5)  o’rta  qiymat  formulasiga  ko’ra  (a-yetarlicha  kichik 

son) 















a

a

M

u

d

M

u

a

d

P

u

a

M

u

p

)

(

)

(

4

1

)

(

4

1

)

(

0

0

2

2

0









 

u funksiya  uzluksiz bo’lgani uchun, u  holda 

)

u(M

u(P)

0



, (ya’ni maksimum butun sferada  

erishiladi).    

 Bu  almashtirishlarni  yetarlicha    marta  davom  ettirib,  maksimum  chegarada  ham  erishishini 

xosil qilamiz.  

135 

 

3. Dirixle ichki masalasining yechimi  yagonaligi va turg’unligi 

Bu yerda va keyin xam μ , v lar qandaydir berilgan funksiyalar.  

Ta’rif:  u(x,y,z)  funksiya  Dirixle  ichki  masalasining  yechimi  deyiladi,  agar  u  quyidagi 

shartlarni qanoatlantirsa: 

2

(1). ( , , )

( ),

( )

(11.1) (2).

( , , )

0, ( , , )

(3). ( , , )

( , , ), ( , , )

u x y z

C

u

C

u x y z

x y z

u x y z

x y z

x y z



















 







 



 

Ω da uzluksiz va  garmonik yechimning  yagonalik hakidagi teoremani isbotlaymiz:  

Teorema. 11.2 (yagonaligi teoremasi)   

)

,

,

(

),

,

,

(

2

1

z

y

x

u

z

y

x

u

      funksiya    [11.1]  Dirixle  ichki  masalasining  yechimlari  bo’lsin.  U 

holda  









)

,

,

(

);

,

,

(

)

,

,

(

2

1

z

y

x

z

y

x

u

z

y

x

u

 .          

Isboti:

2

1

u

u 





 yangi funksiyalarni aniqlaymiz. Oson ko’rinadiki, u   

  da uzluksiz, Ω da 

garmonik va 

.

)

,

,

(

,

0

)

,

,

(







z

y

x

z

y

x



 

U holda 



  funksiya uchun maksimum  prinsipining hamma shartlarini qanoatlantirgan  va 

bundan quyidagi kelib chiqadi: 



































)

,

,

(

,

0

)

,

,

(

0

min

min

0

max

max

z

y

x

z

y

x

v

v

v

v

v

 

teorema  isbotlandi. 

 

Endi  Dirixle  ichki  masalasini    yechimi  turgunligini  ko’rsatamiz.  Lekin  undan  avval 

quyidagi lemmani isbot qilamiz: 

 

Lemma 1. 

)

,

,

(

),

,

,

(

2

1

z

y

x

u

z

y

x

u

 funksiyalar quyidagi uchta shartlarni qanoatlantirsin: 

 1. 

);

(

,

2

1



 C

u

u

 

 2. 





2

1

,u

u

 da garmonik 

 3. 







)

,

,

(

),

,

,

(

)

,

,

(

2

1

z

y

x

z

y

x

u

z

y

x

u

 

 

U xolda 









)

,

,

(

,

2

1

z

y

x

u

u

  

Isboti: 

2

1

u

u 





  funksiyani  qaraymiz.  U  holda 

0

)

,

,

(



z

y

x

v

, 

.

)

,

,

(







z

y

x

  Minimum 

prinsipidan 

foydalanib 

(ravshanki 

barcha 

shartlar 

bajarilgan) 

  

da 

2

1

0

min

min

u

u

v

v













  ni olamiz. 

Lemma isbotlandi. 

Teorema  11.3  (turg’unlik  teoremasi). 

)

,

,

(

),

,

,

(

2

1

z

y

x

u

z

y

x

u

  funksiyalar  quyidagi  shartlarni 

qanoatlantirsin: 







































.

2

,

1

,

)

,

,

(

),

,

,

(

)

,

,

(

)

3

(

;

)

,

,

(

,

0

)

,

,

(

)

,

,

(

)

2

(

);

(

)

(

,

)

1

(

2

1

2

2

1

i

z

y

x

z

y

x

z

y

x

u

z

y

x

z

y

x

u

z

y

x

u

C

C

u

u

i

i



 

U holda  

2

1

2

1

max

max















u

u

 bo’ladi. 

Isboti. 

2

1

2

1

,

max

u

u

v

















 belgilash olamiz. U holda v funksiya  Ω da  garmonik, 

,

)

,

,

(

;











z

y

x

v





  U    holda  (-ε,  v)  va  (ε,  v)    funksiyalar  jufti  uchun    lemmani 

qo’llab (ravshanki uning shartlari bajariladi)        

  da  























2

1

)

,

,

(

;

u

u

z

y

x

v

 ni olamiz. 

teorema isbotlandi. 

136 

 

Natija. 

)

,

,

(

z

y

x

u

n

 funksiyalar ketma-ketligi ,har bir funksiya hamda 

)

,

,

(

z

y

x

u

 mos ∑ da 

n

n

u





, 

Ω  da  u=μ    Dirixle  masalasi    yechimi  bo’lsin.  U  holda 

n

 ning  tekis  yaqinlashishidan  ∑  da 

)

(









n

n

, Ω da 

u

u

n



 kelib chiqadi.  

Eslatma.  Isbotlangan  teorema  ikki  ulchamli  hol  uchun  to’lik  o’rinli.  Bunga  ishonch  hosil 

qilish    uchun  shunga  uxshash  muloxazalar  yuritish  kerak.Endi  Dirixli  masalasining  boshqa 

varianti- Dirixli tashqi masalasini qaraymiz. 

4. Dirixle tashki masalasi yechimi yagonaligi 

Fazoda Dirixli tashki masalasi 

Ta’rif. 

)

,

,

(

z

y

x

u

  funksiya  fazodagi  Dirixle  tashki  masalasining  yechimi  deyiladi,  agar  u 

quyidagi shartlarni  qanoatlantirsa: 











































)

,

,

(

,

0

)

,

,

(

)

4

(

.

)

,

,

(

),

,

,

(

)

,

,

(

)

3

(

;

\

)

,

,

(

,

0

)

,

,

(

)

2

(

);

\

(

)

,

,

(

)

1

(

3

3

z

y

x

z

y

x

u

z

y

x

z

y

x

z

y

x

u

z

y

x

z

y

x

u

C

z

y

x

u



 

Uzluksiz yechimning yagonaligini isbotlaymiz: