Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti differentsial tenglamalar kafedrasi
Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun maksimum prinsipi
Download 8,22 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Teorema 2.2 (max qiymat prinsipi)
- Teorema 2.3(yagonalik).
- 4. Birinchi chegaraviy masala turg’unligi . Lemma 1
- Birinchi chegaraviy masalani yechimining turg’unligi . Teorema 2.4
2. Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun maksimum prinsipi
= , : 0,
* 0, T Q x t l T to’plamni qaraylik. T T T Q Q \ to’plamning chegarasi . Bizlar
x u , funksiyamiz o’zining max qiymatiga T chegarada erishadi, agarda u issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini qanoatlantirsa.
, T u x t C Q , ,
xx T u u C Q va T xx t Q u a u , 2
bo’lsin, u xolda max
, max
, , T Q u x t u x t
t x u t x u T Q , min , min
bo’ladi. Isbot. Bizlar max ga chegarada erishishini ko’rsatishimiz kerak. Teskarisi: faraz qilamiz M t x u , max
va shunday 0 0 , T x t Q mavjudki , shu nuqtada funksiyaning qiymati: 0 0 , , 0. u x t M Endi yangi
0 2 , , t t T t x u t x v (2.6) Bundan quyidagi tenglikni xosil qilish oson: 0 0 0 0 , , . v x t u x t M Bundan tashqari,
t , 0
bo’lganda 0 2 2
t T
bo’lganligi sababli 2 2 , max
, max
0
t t T t x u t x v tengsizlik o’rinlidir. Demak shunday T Q t x 1 1 , nuqta mavjudki, bu nuqtada t x v , funksiyamiz max ga erishadi. Ikki marta differensiallanuvchi funksiyaning maksimumnmng zaruriy shartiga ko’ra
0 , 0 , 1 1 1 1
x v t x v xx t . Agar T t 1 bo’lsa tengsizliklar qatiy bo’ladi. Endi biz (2.6) tenglikni ikkala tomonini t bo’yicha 2 marta difftrentsiallashdan quyidagini xosil qilamiz:
T t x v t x u t t 2 , , Endi x bo’yicha 2 marta differensiallab quyidagini xosil qilamiz:
t x v t x u xx xx , , .
Yuqorida yozilgan tengsizliklar sistemasidan quyidagi tengsizliklarni xosil qilamiz: 2 2 1 1 1 1 1 1 , , 0 , , 2
t xx xx u x t v x t a v x t a u x t T
bu esa issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasiga zid. Biz qarama-qarshilikga keldik. Demak bizlar noto’g’ri faraz qilgan edik. Shuning uchun
t x u t x u T Q , max , max
va birinchi qism isbotladi. 99
Teoremaning 2-qismini isbotlash uchun
x u , funksiyadan
, , w x t u x t
funksiyaga o’tish kerak. Xosil bo’lgan funksiya maksimumga erishgan nuqtalarda
x u ,
funksiya minimal qiymatlarga erishadi. Teorema isbotlandi. Chegaraviy masalalarga maksimum prinsipini qo’llasak, quyidagini xosil qilamiz.Endi
2 1 2 , 0, , 0, 0, , 0, , , , , 0 , 0,
xx u a u x l t T u t t t T u l t t t o T u x x x l
Shunda
t t x ma t x u l x T t T t Q T , 0 2 , 0 1 , 0 max , max , max
, max
Bu tenglik oddiy fizikaviy ma’noga ega. Sterjenning temperaturasi uning chegaralaridagi va boshlang’ich vaqt momentidagi temperaturasidan baland bo’lishi mumkin emas. 3. Birinchi chegaraviy masalani yechimining yagonaligi.
t x u t x u , , , 2 1 funksiyalar 2 2 , , , 1, 2 i T T u u C Q C Q i x t
sinfdan olingan bo’lib, bu funksiyalarning ikkalasi ham [2.1] chegaraviy masalaning yechimi bo’lsa, shunda quyidagi tenglik o’rinli:
t x u t x u , , 2 1 Isboti: Yangi
x v ,
t x u t x u , , 2 1 funksiya kiritamiz. Shunda
T Q C v
T xx t Q C v v , bo’lishi aniq. Bu funksiyamiz quyidagi masalaning yechimi bo’ladi 2 , 0, , 0, 0, 0, 0, , 0, , , 0
0, 0,
xx v a u x l t T v t t T v l t t o T v x x l
x v , funksiya uchun max prinsipining barcha shartlari bajarilishi aniq. Demak max prinsipini qo’llaganimizda max , max , 0 min , min
, 0
T Q Q v x t v x t v x t v x t 1 2 , 0 , , v x t u x t u x t teorema isbotlandi. 4. Birinchi chegaraviy masala turg’unligi. Lemma 1. Bizlarga 1 2 , va , u x t u x t funksiyalar berilgan va quyidagi shartlar bajarilsin: 2 2
, , i=1,2 i i i T T u u u C Q C Q x t va
2 2 2 1 2 1 2 1 2 , 0, ,
0, , 1, 2 0, 0, ,
0, , 0, , , , 0
, 0 , 0,
i u u a x l t T i t x u t u t t T u l t u t t o T u x u x x l
100
o’rinli bo’lsa, shunda T Q sohada
t x u t x u , , 2 1 . Isboti: Yana
1 2 , , ,
u x t u x t bunda
, , T t xx T v C Q v v C Q shu bilan birgalikda
2 , , 0, , 0, 0, 0, 0, , 0, , , 0 0, 0, t xx v a u x t x l t T v t t T v l t t o T v x x l
o’rinli. Endi bizlar max prinsipining 2-qismidan foydalanamiz:
0 , min , min t x v t x v T Q demak xulosa
1 2 , , ,
, u x t u x t x t Q Lemma isbotlandi. Birinchi chegaraviy masalani yechimining turg’unligi. Teorema 2.4 (turg’unlik). Bizga t x u t x u , , , 2 1 funksiyalar berilgan va quyidagi shartlar: 2 2 , , , i=1,2 i i i T T u u u C Q C Q x t
2 2 2 1 2 , 0, ,
0, , 1, 2 0, , 0, , 1, 2
, , , , 1, 2
, 0 , 0, , 1, 2 i i i i i i i i u u a x l t T i t x u t t t T i u l t t t o T i u x x x l i
o’rinli bo’lsa, shunda
tenglik o’rinli Isboti:
x v ,
t x u t x u , , 2 1 almashtirish olamiz . Unda
T Q C v
T xx t Q C v v ,
T t l x t x u a v xx t , 0 , , 0 , , 2 Tengliklar o’rinli. Quyidagicha almashtirish olamiz:
0 , max , max
, max
2 1 , 0 2 2 1 2 , 0 2 1 1 1 , 0 x x t t t t x ma l x T t T t
Bu tenglikdan t x v , max
kelib chiqadi. Demak
t x v , , to’g’ri chiziqda bajariladi:
t x v , ,
va
, ,t x v
fuksiyalar uchun 1-lemmani qo’llasak
x u t x u , , 2 1
T Q sohada bo’ladi. TEOREMA ISBOTLANDI.
Download 8,22 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling