Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

 Mor doiraviy diagrammasi. Bosh urinma kuchlanishlar. 
 
Bundan  oldin  ko‘rilgan  Koshining  kuchlanishlar  sirti  kuchlanishlar  tenzorining  to‘liq 
geometrik  tasvirini  va  Lame  ellipsoidi-qaralayotgan  nuqtadan  o‘tuvchi  hamma  maydonchalardagi 
kuchlanish  vektorlarining    geometrik  tasvirini  beradi.  Ushbu  geometrik  tasvirlardan  tashqari  yana 
bir  shunday  tasvirlash  usuli  ham  mavjudki,  bu  usul  O.Mor  tomonidan  taklif  etilgan  bo‘lib,  qator 
foydali  xulosalar  chiqarishga  va  bosh  urinma  kuchlanishlarni  topishga  imkon  beradi.  Quyida  shu 
usul bilan, to‘g‘rirog‘i, Morning doiraviy diagrammasi bilan tanishamiz. 
Koordinat  o‘qlarini 
 
ij

  kuchlanish  tenzorining  bosh  o‘qlari  bilan  ustma-ust  qo‘yamiz 
(jismning  biror  nuqtasida).  U  holda  normali  (birlik) 
n

  bo‘lgan  ixtiyoriy  maydonchadagi 
n
q

 
kuchlanish vektorining koordinat o‘qlariga proyeksiyalari (2.51) formulalar bilan aniqlanadi. 
Kuchlanish  vektori 
n
q

  ni  maydonchaning  normali
n

  yo‘nalishiga  proyeksiyalab,   
nn
n
q


normal  kuchlanishni  (2.9-rasm),  maydoncha  tekisligiga  proyeksiyalab, 

n
q urinma  kuchlanishni 
olamiz va uni 
n
 orqali belgilaymiz, ya‘ni 
n
 orqali  belgilaymiz, ya‘ni 


n
n
q

. 
Faraz  qilaylik,  jismning  berilgan  nuqtasidan  o‘tuvchi  biror  maydonchada 
n
   va 
n
   lar 
ma’lum, ya‘ni ularning qiymatlari berilgan bo‘lsin. Oldinda turgan vazifa 
n
  va 
n
  larning berilgan 
qiymatlari bo‘yicha ular ta’sir qilayotgan maydonchaning vaziyatini aniqlashdan iborat. 
Yuqoridagi (2.51) formulaga ko‘ra 
2
3
3
2
2
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
n
n
n
n
x
n
x
n
x
n










                                          (2.54) 
bundan tashqari 










n
n
n
nn
n
n
q
n
q
q




 
bo‘lganligidan 
2
3
2
2
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
q
q
q
q








 
yana (2.51) ga asosan 
2
3
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n









                                            (2.55) 
Yo‘naltiruvchi kosinuslar uchun (2.52) formula o‘rinli  
2
3
2
2
2
1
1
n
n
n



.                                                             (2.56) 
Shunday qilib, qo‘yilgan  masala (2.54), (2.55) va (2.56) tenglamalar sistemasidan uchta 
2
3
2
2
2
1
,
,
n
n
n
 
noma‘lumlarni aniqlashga keltiriladi. Yuqoridagi (2.54), (2.55) va (2.56) tenglamalarning har birini 
mos ravishda 
c
b
а ,
,
sonlariga  ko‘paytirib qo‘shamiz. Natijada 

 
36






2
3
3
2
3
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
n
c
a
b
n
c
a
b
n
c
a
b
b
c
a
b
n
n
n






















                                     (2.57) 
Olingan  (2.57)  tenglamada 
)
3
,
2
,
1
(
2

i
n
i
lar  oldidagi  koeffitsientlar  va  tenglamaning  chap 
tomonidagi birinchi uchta had bir xil koeffitsientli ikkinchi darajali ko‘phaddan iborat: 
c
az
bz
z
F



2
)
(
                                                        (2.58) 
Boshda jismning qaralayotgan nuqtasida 
к
 bosh kuchlanishlar har xil va 
3
2
1





deb 
hisoblaymiz. Yo‘naltiruvchi kosinuslardan birinchisini, ya’ni 
2
1
n  ni aniqlash uchun 
)
( z
F
 
ko‘phadning ildizlari 
2
n  va 
3
n  lardan iborat bo‘lsin deb hisoblash yetarli, ya’ni: 





3
2
3
2
2
3
2
)
(













z
z
z
z
z
F
 
yoki 


3
2
3
2
,
1
,









c
b
а
 
c
b
а
,
,
 larning ushbu qiymatlarini (2.57) ga qo‘ysak, 






2
1
3
2
2
3
2
n
n
n
n
n
n















                                (2.57)
1
 
tenglamaga ega bo‘lamiz. Xuddi shunday 
2
2
n  va 
2
3
n
larni aniqlash uchun 




,
,
1
,
;
,
1
,
2
1
2
1
3
1
1
3


















c
b
а
c
b
а
 
qiymatlarni qabul qilish kerak. U holda (2.57) dan mos ravishda 






;
2
2
1
2
3
2
2
1
3
n
n
n
n















                             (2.57)
2 






2
3
2
3
1
3
2
2
1
n
n
n
n















                             (2.57)
3 
tenglamalarga esa bo‘lamiz. Bu tenglamalardan: 
 















































.
,
,
2
3
1
3
2
1
2
2
3
1
2
3
2
1
3
2
2
2
3
1
2
1
3
2
2
2
1



























n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
                                                      (2.59) 
To‘g‘ridan-to‘g‘ri tekshirib ko‘rish yo‘li bilan 



2
2
2
2



















r
s
r
s
n
r
n
s
n









 
ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas. U holda (2.57)
1 
dan 



,
2
1
3
1
2
1
2
2
3
2
2
3
2
2
2
n
n
n






























 
bu yerdan 



2
3
2
2
1
3
1
2
1
2
2
3
2
2
2






























n
n
n
 
ga  ega  bo‘lamiz.  Xuddi  shunday  yo‘l  bilan  (2.57)
2
  va  (2.57)
3
  lardan  oxirgi  tenglamaga  o‘xshash 
tenglamalarni olamiz va har uchala tenglamalarni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz: 

 
37









































,
2
;
2
;
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
2
1
3
2
1
2
2
3
2
R
R
R
n
n
n
n
n
n












                                                      (2.60) 
bu yerda 









.
;
;
2
2
1
2
3
2
3
1
3
2
3
2
2
3
2
2
1
2
3
2
2
2
2
3
2
2
1
3
1
2
1
2
1
2
2
2



















































n
R
n
R
n
R
                                 (2.61) 
Ko‘rinib  turibdiki,  (2.60)  tengliklar 
n
n

 ,
koordinat  tekisligida  markazlari  mos  ravishda 





















0
,
2
;
0
,
2
;
0
,
2
3
1
3
1
3
2
3
2
1






c
c
c
  nuqtalarda  bo‘lgan  konsentrik  aylanalarning 
tenglamalaridan iboratdir. 
Aylanalarning  tenglamalari  tarkibiga 
2
n

kiradi  va  shuning  uchun  ham 
n
 -kuchlanish  ishora 
aniqligida  topiladi.  Demak, 
0

n

yarim  tekisligida  yarim  aylanalarni  tekshirish  bilan  cheklanish 
mumkin.  Bu    yarim  aylanalarning 
i
R radiuslari  (2.61)  formulaga    ko‘ra 
к
 bosh  kuchlanishlar  va 
mos yo‘naltiruvchi kosinus 
i
n ga bog‘liq. 
Yo‘naltiruvchi  kosinuslarning  kvadratlari  musbat    yoki    nol,  ya‘ni 
0
2

i
n
,  hamda  
3
2
1





  bo‘lganlik-lari  uchun  (2.61)  formulalarga  asosan  quyidagi  tengsizliklar  o‘rinli 
bo‘ladi: 
 
,
2
;
2
;
2
30
2
1
3
20
3
1
2
10
3
2
1
R
R
R
R
R
R















                               (2.62)           
bu yerda 
30
20
10
,
,
R
R
R
 lar orqali mos ravishda 
0
,
0
,
0
3
2
1



n
n
n
 xususiy hollar uchun I, II, III yarim 
aylanalarning  radiuslari  belgilangan.  Bundan  ko‘rinadiki, 
n
   va 
n
   larning  mumkin  bo‘lgan  (yoki 
erishish  mumkin  bo‘lgan)  qiymatlari  sohasi  I,  II,    III  yarim  aylanalar  bilan  chegaralangan  yopiq 
sohadan iboratdir (2.12.-rasm). 
 
 
 
 
 
                                          
                                                 
 
                                               
  
 
 
 
 
 
Ushbu  soha  (rasmda  shtrix  chiziqlar  bilan  to‘ldirilgan)  kuchlanganlik  holatining  doiraviy 
diagrammasi  yoki  Mor  doiralari  deyiladi.  Doiraviy  diagramma  nuqtalarining  koordinatalari 
    
n

           
n

 
                                           B        II   
                                          N 
 
        
n

          A                  R
20
   III 
      o              I  R
1
   R
10 
   R
2
               R
30
       
n

 
          
3

          C
1                    
C
2      
C
3
 
                     
2

   
        
                                    
1

 
                                    2.12-rasm.  

 
38
diagramma masshtabida jismning berilgan nuqtasidan o‘tuvchi hamma maydonchalarda normal 
)
(
n

va urinma 
)
(
n
  kuchlanishlarni aniqlaydi. 
Kuchlanish 
)
(
ij
 tenzorining  (yo‘nalishlari  bo‘yicha  bosh 
3
2
1
,
,



kuchlanishlar  ta’sir 
qiluvchi bosh o‘qlarini mos ravishda birinchi, ikkinchi va ychinchi bosh o‘qlar deb ataymiz. Shunga 
mos ravishda  birinchi  bosh o‘q orqali o‘tuvchi  hamma  maydonchalarni, qaysiki ular uchun 
0
1

n
 
bo‘lgan maydonchalar, birinchi seriya maydonchalari deb ataymiz. Doiraviy diagrammada birinchi 
seriya maydonchalariga I yarim aylananing nuqtalari to‘g‘ri keladi. 
Xuddi  shunga  o‘xshash  ikkinchi  bosh  o‘qdan  o‘tuvchi  maydonchalar 
)
0
(
2

n
  ikkinchi 
seriya maydonchalarini tashkil etadi va ularga II yarim aylana nuqtalari mos keladi. Uchinchi seriya 
maydonchalariga,  ya‘ni  uchinchi  bosh  o‘q 
)
0
(
3

n
  dan  o‘tuvchi  maydonchalarga,  III  yarim 
aylananing nuqtalari mos keladi. 
Yarim aylanalarning 
n
  o‘qi bilan kesishgan nuqtalarining abstsissalari 
к

 bosh 
kuchlanishlarning qiymatlariga tengdir. 
Birinchi,  ikkinchi  va uchinchi  seriya  maydonchalaridan  boshqa, 
)
(
ij
  tenzorning  har uchala 
bosh  o‘qlarini  kesib  o‘tuvchi  maydonchalardagi,  ya’ni 
0
,
0
,
0
3
2
1



n
n
n
bo‘lganda,  normal  va 
urinma  kuchlanishlar,  I,  II,  III  yarim  aylanalar  bilan  chegaralangan  sohaning  ichki  nuqtalarining 
koordinatalari  bilan  aniqlanadi. 
Diagrammaning  normali 
n

  bo‘lgan  maydonchasidagi  kuchlanishni  aniqlovchi  N  nuqtasini 
topish uchun, kesishish  nuqtasi  N  nuqtani  beruvchi aylanalarning radiuslarini (2.61)  formula  bilan 
3
2
1
,
,
R
R
R
 hisoblash kerak. 
Doiraviy diagrammani tahlil qilish natijasida quyidasi xulosalarni chiqarish mumkin: 
-  eng katta 
1

 bosh kuchlanishning qiymati jismning qaralayotgan nuqtasida mavjud  bo‘lgan 
hamma norma kuchlanishlardan kattadir, eng kichik 
3
  bosh kuchlanish esa shu nuqtadagi hamma 
normal  kuchlanishlardan  kichik.  Bu  narsa  diagrammadan  yaqqol  ko‘rinadi:  diagrammaning  eng 
katta  abssissasi 
1

,  eng  kuchigi  esa 
3
 .  Boshqacha  aytganda,  jism  nuqtasidagi  hamma  normal 
kuchlanishlarning qiymatlari 


1
3
,


 oralig‘ida yotadi. 
-  Birinchi, ikkinchi va uchunchi seriya maydonchalarida 
)
0
;
0
;
0
(
3
2
1



n
n
n
urinma 
kuchlanishlar o‘zlarining ekstremal qiymatlariga erishadi: 
2
,
2
,
2
2
1
3
3
1
2
2
2
1















                                                (2.62) 
Ushbu  urinma  kuchlanishlar  ba‘zi  hollarda  bosh  urinma  kuchlanishlar  deyiladi.  Bosh  urinma 
kuchlanishlar doiraviy diagrammaning 
C
B
А ,
,
 nuqtalariga mos       keluvchi maydonchalarda ta’sir 
qiladilar. Xuddi shu maydonchalardagi normal kuchlanishlar qiymatlari: 
2
,
2
;
2
2
1
3
1
1
2


















                                                 2.63) 
lardan iborat. 
Endi  (2.59)  formulalarga 
n
   va 
n
   lar  o‘rniga  diagrammaning 
C
B
A ,
,
  nuqtalariga  mos 
keluvchi  maydonchalaridagi  normal  va  urinma  kuchlanishlarning  mos  qiymatlarini  qo‘yib,  shu 
maydonchalar normallarining yo‘naltiruvchi kosinuslarini topamiz. Misol uchun diagrammaning A 
nuqtasiga  keluvchi  maydonchaning  yo‘naltiruvchi  kosinuslarini  topamiz.  Buning  uchun  (2.59) 
formulalarda 
n
   ning  o‘rniga  (2.62)  dan 
1

  ning  qiymatini, 
n
   ning  o‘rniga  (2.63)  dan  

  ning 
qiymatini qo‘yish kerak: 

 
39





















.
2
1
2
2
2
2
2
2
;
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
;
2
2
2
2
2
2
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2
2
3
1
3
2
3
2
1
3
2
2
3
2
2
2
3
2
1
2
1
3
2
3
2
3
2
3
2
1
2
1
3
2
3
2
2
3
2
3
2
1
2
1
3
2
3
3
2
2
3
2
2
2
3
1
2
1
2
3
3
2
2
3
2
3
1
2
1
3
3
2
2
3
2
2
3
2
2
1







































































































































































































































n
n
n
 
Demak, A nuqtaga mos keluvchi maydonchaning yo‘naltiruvchi kosinuslari 
.
;
,
2
1
2
1
0
3
2
1





n
n
n
 
Xuddi shunday B nuqta uchun 
.
;
,
;
2
1
0
2
1
3
2
1





n
n
n
 
va nihoyat C nuqta uchun 
.
0
;
2
1
;
2
1
3
2
1





n
n
n
 
Olingan natijalar ko‘rsatadiki,  bosh urinma kuchlanishlar ta‘sir qiluvchi  maydonchalar, bosh 
o‘qlardan biri va qolgan ikki bosh o‘qlar orasidagi burchak bissektrisasi orqali o‘tadi. 
Yuqoridagi  (2.62)  formulalardan  hamda  doiraviy  diagrammadan  (2.12-rasm)  ko‘rinadiki 
jismning berilgan nuqtasidagi eng katta urinma kuchlanish 
2
3
1
2
max







                                                    (2.64) 
dan iboratdir. 
Shunday  qilib,  eng  katta  urinma  kuchlanish 
max

  yuzaga  keluvchi  o‘zaro  perpendikular 
maydonchalar 
)
(
ij

tenzorining  ikkinchi  bosh  o‘qi  hamda  birinchi  va  uchinchi  o‘qlar  orasidagi 
burchaklar bissektrisalari orqali o‘tadi.