Almashtirishning kanoniklik kriteriyasi. Lagranj qavslari

Kanonik almashtirishlar Gamilton sistemalariga tegishli bo’lib, bu almashtirishlardan asosiy maqsad, berilgan ixtiyoriy Gamilton sistemasini boshqa struktura jihatidan soddaroq Gamilton funktsisiga ega bo’lgan sistema bilan almashtirishdir. Umumiy holda vaqtga bog’liq bo’lgan quyidagi (1) almashtirishlar kanonik deyiladi, agar bu almashtirishlar ixtiyoriy Gamilton (2) sistemasini yana Gamilton sistemasiga (umumiy holda boshqa Gamilton funktsiyasi bilan) o’tkazsa. Ya’ni quyidagi ko’rinishni egallasa

• Birinchi integral Gamilton funktsiyasi bo’lgan Gamilton sistemasi uchun invariant bo’lsa, ikkinchi integral kanonik almashtirishlardan hosil bo’lgan Gamilton sistemasi uchun invariant bo’ladi. Agar ikkinchi integral ostidagi o’zgaruvchilarni (1) tenglamaga asosan lar bilan almashtirsak yopiq kontur yopiq konturga o’tadi va ikkinchi integral boshlang’ich Gamilton sistemasi uchun yangi invariantga aylanadi. Lekin Li Xua-chjun teoremasiga ko’ra bu ikki integral orasida quyidagi

• Almashtirishning kanoniklik kriteriyasi. Lagranj qavslari
• Yuqorida keltirilgan kanonik almashtirish shartida qatnashuvchi o’zaro bog’liq bo’lmagan va o’zgaruvchilarning funktsiyasi bo’lgan
• (7)
• almashtirishlar kanonik bo’lishi uchun qanday shartlarni qanoatlantirishi kerakligini ko’rib chiqamiz.
• Faraz qilamiz (6) ko’rinishdagi almashtirishlar kanonik almashtirishlardan iborat bo’lsin. U holda bu almashtirishlar uchun quyidagi
• (8)
• ayniyat o’rinli bo’lishi kerak.
• Endi vaqtning ixtiyoriy fiksirlangan qiymatini olamiz. U holda yuqoridagi (8) ayniyat
• (9)
• ko’rinishga ega bo’ladi.
• Bu tenglama valentligi bo’lgan va fiksirlangan vaqtdagi

• Erkin kanonik almashtirishlar
• Agar kanonik almashtirishlar uchun quyidagi qo’shimcha shart bajarilsa, u holda bu almashtirishlar erkin kanonik almashtirishlar deyiladi. Bu holda yangi o’zgaruvchilar sifatida larni olish mumkin. Haqiqatdan ham, qo’shimcha quyilgan shart kanonik almashtirishlardagi birinchi ta tenglamadagi umumlashgan impulg’slar larni qolgan o’zgaruvchilar orqali ifodalash imkoniyatini beradi. Bu holda keltirib chiqaruvchi funktsiyani quyidagi ko’rinishda olish mumkin, yahni yangi o’zgaruvchilar funktsiyasi deb qarash mumkin va erkin kanonik almashtirishlar sharti