Almoodle uwed uz Mavzu: Trigonometrik formulalar O‘qituvchi: A. K. Kilichov Fan: Algebra
Download 0.66 Mb. Pdf ko'rish
|
30 dars. Trigonometrik formulalar
- Bu sahifa navigatsiya:
- Trigonometrik formulalar
- Ikkilangan burchak formulalari
- Yarim burchak formulalari
- Yig‘indini ko‘paytmaga keltirish
- Ko‘paytmani yig‘indiga keltirish
- Darajani pasaytirish formulalari
- Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
- Darsni yakunlash A.K.KILICHOV
- E’TIBORINGIZ UCHUN RAHMAT! ARALASHMAGA OID MASALALAR MATEMATIKA
|
Almoodle.uwed.uz Mavzu: Trigonometrik formulalar O‘qituvchi: A.K.Kilichov Fan: Algebra M1. Qo‘shish, ikkilangan burchak va yarim burchak, keltirish, yig‘indi va ayirmaga doir trigonometrik formulalarni esga olish va bilmaganlarimizni o’rganish. M2. Trigonometrik formulalar yordamida masalalar yechish DARSNING MAQSADI Oldingi darsimizda trigonometriya elementlari, trigonometrik ayniyatlar va keltirish, qo’shish formulalari va yig’indi formulalari mavzuslari bilan tanishgan edik. Bugungi darsimizda o’tilgan mavzularni ko‘rib chiqamiz va ularga doir masalalarni yechamiz. OLDINGI DARSLARGA BIR NAZAR Trigonometrik formulalar Trigonometrik formulalar Qo‘shish
formulalari Ikkilangan burchak formulalari Yarim burchak
formulalari Darajani
pasaytirish formulalari Keltirish formulalari Yig‘indini ko‘paytmaga keltirish Ko‘paytmani yig‘indiga keltirish Qo‘shish formulalari 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ± 𝜷 = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜷 ± 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝜷 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ± 𝜷 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜷 ∓ 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝜷 𝒕𝒈 𝜶 ± 𝜷 = 𝒕𝒈𝜶 ± 𝒕𝒈𝜷 𝟏 ∓ 𝒕𝒈𝜶 ∙ 𝒕𝒈𝜷 Soddalashtiring: 1 sin 20° + 3 cos 20° = 1 ∙ cos 20° + 3 ∙ sin 20° sin 20° ∙ cos 20° = = 2 ∙ 1 2 ∙ cos 20° + 3 2 ∙ sin 20° 1 2 ∙ 2 ∙ sin 20° ∙ cos 20° = 2 ∙ cos 60° − 20° 1 2 ∙ sin 2 ∙ 20° = = 4 ∙
cos 40° sin 40°
= 4𝑐𝑡𝑔40° Javob: 4𝑐𝑡𝑔40°
1-Masala Ikkilangan burchak formulalari 𝐬𝐢𝐧(𝜶 + 𝛃) = 2-Masala 𝐬𝐢𝐧(𝜶 + 𝜶) =𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 +𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜷 +𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝜷 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝜷 = 𝜶
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶 − 𝐬𝐢𝐧
𝟐 𝜶 = 𝟏 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝜶 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝜶 − 𝟏
𝒕𝒈 𝟐𝜶 = 𝟐𝒕𝒈 𝜶
𝟏 − 𝒕𝒈 𝟐 𝜶 𝜋 2
sin 𝛼 = 2
bo‘lsa, cos 2𝛼 =? cos 2𝛼 = 1 − 2 ∙ 2 7
= 1 − 2 ∙ 4 49 = 1 − 8 49 = 41 49 Javob: 41 49 Yarim burchak formulalari 3-Masala
𝒕𝒈 𝜶 𝟐 = ± 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶 = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶 = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐬𝐢𝐧 𝜶 Javob: 3 2
8 𝐬𝐢𝐧
𝜶 𝟐 = ± 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝟐 = ± 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝟐
cos 8 𝜋
8 = 1+cos 𝜋 4 2 8 = 1+ 2 2 2 4 = 2+ 2 4 4 4 , sin
8 𝜋 8 = 2− 2 4 4 4 cos
8 𝜋 8 − sin 8 𝜋 8 ifodaning qiymatini toping. 2+ 2 4 4 4 − 2− 2 4 4 4 = 2+ 2
4 − 2− 2
4 4 4 = 3 2
8 Keltirish formulalari sin
𝜋 2 + 𝛼 = sin 𝜋 2 ∙ cos 𝛼 + cos 𝜋 2 ∙ sin 𝛼 = cos 𝛼 cos 𝜋 2 + 𝛼 = cos 𝜋 2 ∙ cos 𝛼 − sin 𝜋 2 ∙ sin 𝛼 = − sin 𝛼 Keltirish formulalari Keltirish formulasidan foydalanish qoidasi. 𝜋 2
3𝜋 2 +𝛼 −𝛼 −𝛼 −𝛼 +𝛼 +𝛼 0 = 2𝜋 𝜋 sin 56° ∙ sin 124° − sin 34° ∙ cos 236° cos 28° ∙ sin 88° + sin 178° ∙ cos 242° = 4-Masala = sin 56° ∙ cos 34 + sin 34° ∙ cos 56° cos 28° ∙ cos 2° − sin 2° ∙ sin 28° = = sin 90° cos 30°
= 1 3 2 = 2 3 = 2 3 3 Javob: 2 3
3 Ifodani qiymatini toping Keltirish formulalari 5-Masala
Javob: 1 Yechish: 𝑐𝑡𝑔760°−𝑡𝑔580° 𝑐𝑡𝑔490°+𝑡𝑔590° = Hisoblang: 𝑐𝑡𝑔760°−𝑡𝑔580° 𝑐𝑡𝑔490°+𝑡𝑔590° = 𝑐𝑡𝑔40°−𝑡𝑔220° 𝑐𝑡𝑔130°+𝑡𝑔230° = 𝑡𝑔50°−𝑐𝑡𝑔50° −𝑐𝑡𝑔50°+𝑡𝑔50° = 𝑡𝑔50°−𝑐𝑡𝑔50° 𝑡𝑔50°−𝑐𝑡𝑔50° = 1
𝑐𝑡𝑔 720°+40 −𝑡𝑔 360°+220° 𝑐𝑡𝑔 360°+130° +𝑡𝑔 360°+230° =
Yig‘indini ko‘paytmaga keltirish 6-Masala
Javob: 𝑐𝑡𝑔𝛼
Yechish: Ifodani soddalashtiring: sin 𝛼+sin 3𝛼+sin 5𝛼+sin 7𝛼 cos 𝛼−cos 3𝛼+cos 5𝛼−cos 7𝛼 𝐬𝐢𝐧 𝜶 + 𝐬𝐢𝐧 𝜷 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜶+𝜷
𝟐 𝐜𝐨𝐬
𝜶−𝜷 𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝜶 − 𝒔𝒊𝒏 𝜷 = 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷
𝟐 𝒄𝒐𝒔
𝜶+𝜷 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶 + 𝐜𝐨𝐬 𝜷 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶+𝜷 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶−𝜷 𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝜶 − 𝐜𝐨𝐬 𝜷 = −𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷
𝟐 𝐬𝐢𝐧
𝜶+𝜷 𝟐 𝐭𝐠 𝜶 ± 𝐭𝐠 𝜷 = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ± 𝜷 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜷 sin 𝛼+sin 7𝛼 + sin 3𝛼+sin 5𝛼 cos 𝛼−cos 7𝛼 + cos 5𝛼−cos 3𝛼 = =
2 sin 4𝛼 sin 3𝛼−sin 𝛼 = 2 sin 4𝛼 cos 3𝛼+2 sin 4𝑎 cos 𝛼 2 sin 3𝛼 sin 4𝛼−2 sin 𝛼 sin 4𝛼 = cos 3𝛼+cos 𝛼 sin 3𝛼−sin 𝛼 = 2 cos 2𝛼 cos 𝛼 2 sin 𝛼 cos 2𝛼 = cos 𝛼 sin 𝛼 = 𝑐𝑡𝑔𝛼
Ko‘paytmani yig‘indiga keltirish 7-Masala
Javob: cos 4𝛼
Yechish: Ifodani soddalashtiring: 2 cos 𝜋
+ 2𝛼 cos 𝜋 4 − 2𝛼 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝜷 = 𝟏 𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜷 = 𝟏 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶 − 𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶 + 𝜷 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜷 = 𝟏 𝟐
𝐭𝐠 𝜶 ∙ 𝐭𝐠 𝜷 = 𝒕𝒈 𝜶 + 𝒕𝒈 𝜷 𝐜𝒕𝒈 𝜶 + 𝐜𝒕𝒈 𝜷 2 cos
𝜋 4 + 2𝛼 cos 𝜋 4 − 2𝛼 = = 2 ∙ 1 2 cos 𝜋 4 + 2𝛼 − 𝜋 4 + 2𝛼 + cos 𝜋 4 + 2𝛼 + 𝜋 4 − 2𝛼 =cos 4𝛼
Darajani pasaytirish formulalari 8-Masala
Javob: 4 sin
2 𝛼
Ifodani soddalashtiring: sin
2 2,5𝛼−sin
2 1,5𝛼
sin 4𝛼 sin 𝛼+cos 3𝛼 cos 2𝛼 𝐬𝐢𝐧
𝟐 𝜶 =
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝟐 sin 2 2,5𝛼 − sin 2 1,5𝛼 =
1−cos 5𝛼 2 − 1−cos 3𝛼 2 = cos 3𝛼−cos 5𝛼 2 = sin 𝛼 sin 4𝛼 sin 4𝛼 sin 𝛼 + cos 3𝛼 cos 2𝛼 = 1 2 cos 3𝛼 − cos 5𝛼 + 1 2 cos 𝛼 + cos 5𝛼 = = 1 2 cos 3𝛼 + cos 𝛼 = cos 2𝛼 cos 𝛼 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝟐 𝒕𝒈 𝟐 𝜶 =
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 sin 𝛼 sin 4𝛼 cos 2𝛼 cos 𝛼 = 2 sin 2𝛼 cos 2𝛼 sin 𝛼 cos 2𝛼 cos 𝛼 = 4 sin 𝛼 cos 𝛼 sin 𝛼 cos 𝛼 = 4 sin
2 𝛼
Masalalar yechish 9-Masala
sin 30° Yechish: Hisoblang: sin 10° ∙ sin 30° ∙ sin 50 ° ∙ sin 70° ∙ sin 90° = 2 ∙ sin 10° ∙ cos 10 °
∙ cos 20 ° ∙ cos 40° 2 ∙ cos 10 ° = sin 90°
sin 10° ∙ sin 50 ° ∙ sin 70° = sin 10° ∙ cos 20 ° ∙ cos 40° = sin
𝜋 2 − 𝛼 = cos 𝛼 2 ∙ sin 𝛼 ∙ cos 𝛼 = sin 2𝛼 = sin 20° ∙ cos 20 ° ∙ cos 40° 2 ∙ cos 10 ° = = sin 40° ∙ cos 40° 4 ∙ cos 10 ° = sin 80°
8 ∙ cos 10 ° sin
𝜋 2 − 𝛼 = cos 𝛼 = cos 10°
8 ∙ cos 10 ° = 1 8 sin 30° = 1 2
1 8 ∙ 1 2 ∙ 1 = 1 16
1 16
Masalalar yechish 𝒔𝒊𝒏 𝜶 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎° − 𝜶 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎° + 𝜶 = 𝟏 𝟒
sin 10° ∙ sin 50 ° ∙ sin 70° = sin 10° ∙ sin 60° − 10° ∙ sin 60° + 10° = = 1 4 ∙ sin 3 ∙ 10° = 1 4
1 4 ∙ 1 2 = 1 8 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎° − 𝜶 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎° + 𝜶 = 𝟏 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝜶 𝐭𝐠 𝜶 ∙ 𝐭𝐠 𝟔𝟎° − 𝜶 ∙ 𝐭𝐠 𝟔𝟎° + 𝜶 = 𝐭𝐠 𝟑𝜶 𝐜𝐭𝐠 𝜶 ∙ 𝐜𝐭𝐠 𝟔𝟎° − 𝜶 ∙ 𝐜𝐭𝐠 𝟔𝟎° + 𝜶 = 𝐜𝐭𝐠 𝟑𝜶 Masalalar yechish 10-Masala Hisoblang: tg 12° ∙ tg 24° + tg 24 ° ∙ tg 54° + tg 54° tg 12° tg 𝜋
− 𝛼 = ctg 𝛼 tg 54° = ctg 36°, ctg 36° = 1 tg 36°
tg 54° = 1 tg 36° = 1 tg 24° + 12° 𝑡𝑔 𝛼 + 𝛽 = 𝑡𝑔𝛼 + 𝑡𝑔𝛽 1 − 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑡𝑔𝛽 tg 54° =
1 tg 24° + tg 12° 1 − tg 24° ∙ tg 12° tg 54° =
1 − tg 24° ∙ tg 12° tg 24° + tg 12° tg 54° ∙ tg 24° + tg 12° = 1 − tg 24° ∙ tg 12° tg 54° ∙ tg 24 ° + tg 54° ∙ tg 12° + tg 12° ∙ tg 24° = 1 Javob: 1
Masalalar yechish 11-Masala Agar sin
𝑎 2 + cos 𝑎 2 = 1,4 bo‘lsa, sin 2𝑎 ni qiymatini toping. sin 𝑎 2 + cos 𝑎 2 2 = 1,4
2 sin
2 𝑎 2 + 2 ∙ sin 𝑎 2 ∙ cos 𝑎 2 + cos 2 𝑎 2 = 1,96
1 + sin 𝑎 = 1,96 => sin 𝑎 = 0,96, cos 𝑎 = 1 − 0,96
2 = 0,28
sin 2𝑎 = 2 ∙ sin 𝑎 ∙ cos 𝑎 = 2 ∙ 0,96 ∙ 0,28 = 0,5376 Javob: 0,5376
Masalalar yechish 12-Masala tg 12° = 𝑎 bo‘lsa, tg 69° ni 𝑎 orqali ifodalang.
𝑎 2 −2𝑎−1 𝑎 2 +2𝑎−1 tg 69° = tg 45° + 24° = tg 24° = tg(2 ∙ 12°) = 1 +
tg 24° 1 −
tg 24° = 1 + 2𝑎 1 − 𝑎
2 1 −
2𝑎 1 − 𝑎
2 = 1 − 𝑎 2 + 2𝑎
1 − 𝑎 2 − 2𝑎 = 𝑎 2 − 2𝑎 − 1 𝑎 2 + 2𝑎 − 1 𝒕𝒈 𝜶 + 𝜷 = 𝒕𝒈𝜶 + 𝒕𝒈𝜷 𝟏 − 𝒕𝒈𝜶 ∙ 𝒕𝒈𝜷 = tg 45° + tg 24° 1 − tg 45° tg 24° = 1 + tg 24° 1 −
tg 24° = 2 ∙ tg 12° 1 − tg 2 12° = 2𝑎 1 − 𝑎 2 𝒕𝒈𝟐𝜶 =
𝟐𝒕𝒈𝜶 𝟏 − 𝒕𝒈
𝟐 𝜶
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar 1. (M2). tg 𝛼 va tg 𝛽 5𝑥 2 − 3𝑥 − 1 = 0 tenglama ildizlari bo‘lsa tg(𝛼 + 𝛽) ni toping. A. 1 2 B. 1 C. 3
2. (M1).
Soddalashtiring: sin 2𝛼+cos(𝜋−𝛼)∙sin 𝛼 sin( 𝜋
−𝛼) A. cos 𝛼
B. sin 𝛼 C. −cos 𝛼 D. −2 sin 𝛼
3. (M2).
Hisoblang: sin
𝜋 8 ∙ cos 𝜋 8 ∙ tg 𝜋 8 ∙ ctg 9𝜋 8 A. 1 2 2
B. 2 C. 1 2
3 2 4. (M2). ቐ sin 𝑥 ∙ sin 𝑦 = 1 4 𝑐𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝑦 = 3 bo‘lsa cos(𝑥 − 𝑦) toping. A. 0 B. 0,5 C. 1 D. -0,5 Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar 5. (M2). Yig‘indini toping: 𝑠𝑖𝑛 4 15 0 + 𝑐𝑜𝑠
4 15 0 A. 5 6 B. 2 3 C. 7 8 D. 5 7 6. (M1).
Hisoblang: cos
2 5 + cos
2 1 − cos 6 ∙ cos 4 A. 1 B. 0 C. 0,5 D. 1,5 7. (M1). Hisoblang: cos 15° + 3 sin 15° A. 3 B. 2 C. 3 2 D. 2 2 8. (M2).
sin 𝛼 = −0,8 , 𝛼 ∈ 𝜋; 3𝜋 2 bo‘lsa tg 𝛼 2 ni toping. A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar 9. (M1). Yig‘indini toping: sin 105° + sin 75° A. 2+ 3
2 B. 2− 3
2 C. 3 − 2 D. 2 + 3 10.
(M2). Hisoblang: cos 2227°30 ′
2+ 2 2
2− 2 4
2− 2 2
2+ 2 4
Bugungi darsimizda q o‘shish, ikkilangan burchak va yarim burchak, keltirish, yig‘indi va ayirmaga doir trigonometrik formulalarni esga
oldik. Trigonometrik formulalar yordamida masalalar yechish usullarini ko‘rib chiqdik. Sizlarga
mustaqil bajarish
uchun bergan
topshiriqlarimizni albatta bajarib ko‘ring.
Darsni yakunlash A.K.KILICHOV –………..matematika fani o‘qituvchisi. Telegram: @kilichov123 Telegram kanal: https: @kilichov_uz Sayt: kilichov.uz MATEMATIKA E’TIBORINGIZ UCHUN RAHMAT! ARALASHMAGA OID MASALALAR MATEMATIKA Download 0.66 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|