Алтибаев алишер мажитовичнинг

ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ ОЛИЙ ВА ЎРТА МАХСУС ТАЪЛИМИ ВАЗИРЛИГИ
ТЕРМИЗ ИҚТИСОДИЁТ ВА СЕРВИС УНИВЕРСИТЕТИ

“Иқтисодиёт” (тармоқлар ва соҳалар бўйича) йуналиши, сиртқи таълим, 1-курс, 6-22 гурух талабаси

АЛТИБАЕВ АЛИШЕР МАЖИТОВИЧНИНГ

“Бизнес математика” фанидан

“Ўйинлар назарияси масаласини чизиқли программалаштириш масаласига келтириш” мавзусида


АМАЛИЙ МАШҒУЛОТИ

Бажарди: Алишер Алтибаев.
Қабул қилди:________________

Термиз-2023

“Ўйинлар назарияси масаласини чизиқли программалаштириш масаласига келтириш”
Агар ўйин матрицасида, бажарилса эгар нуқта мавжуд эмас. Бундай ҳолда, соф стратегияларда оптимал ечим мавжуд бўлмайди. Лекин, соф стратегияларни, аралаш стратегиялар билан кенгайтирсак, аниқмас ўйин масалаларининг ҳам оптимал ечимини аниқлаш алгоритмини топиш мумкин. Бундай ҳолларда, антагонистик ўйинларнинг оптимал ечимини топиш учун, статистик (эҳтимолларга асосланган) усулларни қўллаш тавсия этилади. Бунда, ҳар бир ўйинчининг, мумкин бўлган стратегиялар тўплами билан бирга, номаълум бўлган эҳтимоллик векторлари (нисбий частоталар) орасидаги муносабат киритилади.
ўйинчининг берилган стратегияларини, танлаш эҳтимоллик векторлари (нисбий частоталар) қуйидагича белгиланади:
, где .
миқдор, стратегияни қўллаш эҳтимоли (нисбий частота) дейилади.
ўйинчининг, аралаш стратегияси деб, соф стратегияларни эҳтимоллар билан тадбиқ этишга айтилади, бунда .
ўйинчининг аралаш стратегияси ушбу матрица кўринишда ёзилади.
ёки
кўринишда ёзиш ҳам мумкин.
Шу каби, ўйинчининг, номаълум эҳтимоллик векторлари (нисбий частоталар) қуйидагича белгиланади:
, бунда .
миқдор, стратегияни қўллаш эҳтимоли (нисбий частота) дейилади
Шунга ўхшаш ўйинчи учун аралаш стратегия қуйидагича ёзилади:
, ёки ,
ва соф стратегиялар тўплами, мос равишда ва эҳтимоллик векторлари билан биргаликда, аралаш стратегиялар дейилади.
Соф стратегиялар, аралаш стратегияларнинг хусусий ҳоли бўлиб, вектор эҳтимолнинг бирга тенг бўлишидан, соф стратегиялар келиб чиқади.
Ихтиёрий матрицали ўйиннинг оптимал стратегияси ва ўйин нархини, аралаш стратегияларда топиш мумкин.
Теорема. Аралаш стратегияларда, ихтиёрий чекли матрицали ўйин эгар нуқтага эга.

Аралаш стратегияларда ўйиннинг оптимал ечими - жуфт оптимал стратегиялар бўлиб, у қуйидагига асосланади: агар бир ўйинчи ўзининг оптимал стратегиясида муқим турса, иккинчисининг ўз оптимал стратегиясидан четланиши, унга зарарли бўлади. Оптимал ечимга мос бўлган ютуқ, ўйиннинг нархи дейилади. Ўйиннинг нархи ушбу шартни қаноатлантиради : ,

Ўйинлар назариясининг қуйидаги асосий теоремаси ўринлидир.
Теорема (Нейман теоремаси). Ҳар қандай нол йиғиндили чекли ўйин, аралаш стратегияларда ечимга эга.
ва - оптимал жуфт стратегиялар бўлсин. Агар соф стратегия, аралаш стратегиянинг оптимал ечимида, нолдан фарқли эҳтимоллик билан қатнашса, у актив стратегия дейилади.
Теорема (актив стратегия тўғрисида). Агар ўйинчилардан бири актив стратегиялар чегарасидан чиқмаса ва, бошқа ўйинчи ўзининг оптимал аралаш стратегиясида қолса, у ҳолда ютуқ ўзгармас бўлиб, ўйин нархи га тенг бўлади.
Бу теорема катта амалий аҳамиятга эга, чунки агар эгар нуқта мавжуд бўлмаса, у оптимал стратегияларни топишнинг аниқ моделини беради.