Amaliy ishi mavzu: matlab muhitida chiziqli tenglamalar sistemasini yechish

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda MATLAB usullari. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun MATLAB funksiyalari (usullari) juda ko’p bo’lib, biz ulardan bir nechtasini keltiramiz. Birinchi usul “chapdan bo’lish” usulidir:
1) x=A\B;
2) x=isqnonneg(A,B)-Ax=B chiziqli tenglamalar sistemasini kichik kvadratlar usuli bilan yechadi. Bunda A-(nxn) o’lchovli, B-(nx1) o’lchovli, xi≥0, i=1,2,…,n. Minimallashtirish kriteriyasi: B - Ax ning ikkinchi normasini minimallashtirish;
3) x=isqnonneg(A,B,x0) - iterasiyalar uchun chiziqli tenglamalar sistemasining aniq berilgan nomanfiy boshlang’ich qiymatlarda yechib beradi;
4) [x,w]=isqnonneg(…) - yechim bilan birga qoldiqlar vektori kvadrati ikkinchi normasini qaytaradi;
5) [x,w,w1]=isqnonneg(…) - xuddi avvalgi buyruq kabi, yana qoldiqlar vektori w1 ni qaytaradi;
6) bicg(A,B)-Ax=B ning x yechimini qaytaradi; A(nxn), B(nx1). Bunda hisoblash iterasiyalar yaqinlashguncha yoki min{20,n} gacha bajariladi;
7) bisc(A,B,tol) - yechimni tol xatolik bilan qaytaradi;
8) bisc(A,B,tol,maxit) - avvalgi buyruq kabi, yechimni undan tashqari maxit-maksimal iteratsiyalar soni bilan qaytaradi.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga doir misollar. Tenglamalar sistemasini chapdan bo’lish (2.14 - rasm), iterasiyalar usuli va Kramer usulida yeching, topilgan yechimlarni solishtiring.




2.14 - rasm. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.
Endi xuddi shu tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechamiz va natijalarni solishtiramiz.
Yechimni iterasiyalar usulida topish uchun quyidagi fayl-funksiyani tuzamiz (2.15-rasm):

2.15 - rasm. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.

2.16 - rasm. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.



2.17 - rasm. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.
Natijalardan ko’rinib turibdiki, bu tenglamalar sistemasini yechimini topishga iterasiyalar usulini to’g’ridan-to’g’ri qo’llaganimizda taqribiy yechimni aniqlash jarayoni yaqinlashuvchi emas. Shuning uchun berilgan tenglamalar sistemasida quyidagicha o’zgartirishlar amalga oshiramiz:
e=[0.01 0.01 0.01 0.01; 0.01 0.01 0.01 0.01;
0.01 0.01 0.01 0.01;0.01 0.01 0.01 0.01];
d=inv(a)-e; b1=d*b; a1=a*e; x0=b;
U xolda hosil bo’lgan x=b1+a1x tenglamalar sistemasi yuqorida keltirilgan teorema shartlarini qanoatlantiradi. Iterasiyali algoritmni ishlashini yangi iter2 fayl-funksiya hosil qilib tekshiramiz (2.18-rasm).



2.18-rasm. Chiziqli tenglamalar sistemasini olish.
Xosil qilingan iter2 fayl-funksiyasiga argumentlar a, b, x0, eps, n larning qiymatlarini buyruqlar oynasida hosil qilib, murojat qilamiz va quyidagi natijalarni olamiz (2.19-rasm).



2.19 - rasm. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechimi.