Amaliy ishi mavzu: matlab muhitida chiziqli tenglamalar sistemasini yechish

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI
UNIVERSITETI SAMARQAND FILIALI

"Kompyuter injiniring" fakulteti

Amaliy ISHI
Mavzu: MATLAB muhitida chiziqli tenglamalar sistemasini yechish
Bajardi: B.Kizilbayev
Qabul qildi: M.Sattorov
SAMARQAND – 2023
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning aniq usullaridan keng qo’llaniladiganlari Gauss, Kramer va teskari matrisa usullaridir, taqribiy usullarga esa iterasiyalar(ketma-ket yaqinlashish ), Zeydel va kichik kvadratlar usullarini keltirish mumkin.

Aniq usullardan Kramer usulini ko’rib chiqamiz. Buning uchun det(A)≠0 bo’lishi kerak. Usulni to’liq keltirish uchun sistemaning asosiy matrisasi A ning k-ustun elementlarini ozod had b bilan almashtirib A_k, k =1,n matrisalar hosil qilamiz. U holda det(A)≠0 shart asosida yechimni topish uchun , tengliklardan foydalanish mumkin. Bu yerda foydalanilgan det(A) MATLAB funksiyasi bo’lib, A matrisaning determinantini xisoblab beradi. Taqribiy usullardan iterasiya usulini keltiramiz. Buning uchun (2.1) sistemani quyidagicha ko’rinishga keltiramiz:
(2.3)
Bu yerda i≠j bo’lganda

U holda


belgilashlar kiritib (2.3) ni quyidagicha yozib olamiz.
x= β+ αx (2.4)
Endi (2.4) sistemani ketma-ket yaqinlashish (iterasiya) usuli bilan yechamiz. Boshlang’ich yaqinlashish uchun x⁽⁰⁾= β ozod hadni olamiz va ketma-ket keyingi yaqinlashishlarni hosil qilamiz:
x⁽¹⁾= β+ x⁽⁰⁾;
x⁽²⁾=β+ x⁽¹⁾;
……………
x^(k+1) =β+ x^(k);
Agar x⁽⁰⁾, x⁽¹⁾,…, x^(k),… sonlar ketma-ketligi limitga ega bo’lsa, u holda bu limit (2.3) yoki (2.4) sistemaning yechimi bo’ladi. Yaqinlashishlarni ochiq holda quyidagicha yozish mumkin:

_(2.5)
Yechimni taqribiy hisoblashning ana shunday usuli iterasiya usuli deyiladi. Iterasiya prosessining yaqinlashuvchi bo’lishini yetarli shartini quyidagicha teoremada keltiramiz:
Teorema. Agar o’zgartirilgan (3.) sistemada quyidagi shartlardan

1. 
   _{i = 1,2,…n}
   
2. 
   _{j = 1,2,…n}
   

biri bajarilsa, u holda bu sistema uchun hosil qilingan (2.5) iterasiya jarayoni yagona yechimga yaqinlashuvchi bo’ladi, ixtiyoriy boshlang’ich nuqta x(0) uchun.
Vektor ko’rinishidagi (2.2) sistemani detA≠0 bo’lgan holda teorema shartini qanoatlantiradigan sistemaga keltirish mumkin:
(A^-1-ε)Ax=Db, D= A^-1-ε; (2.6)
Bu yerda ε =[ε_ij] - yetarli kichik sonlardan iborat bo’lgan matrisa. Yuqoridagi (3.6) belgilashlardan foydalanib, quyidagini olamiz
x=β+αx, (2.7)
bu yerda α= εA, β=Db, bo’lib ε_ij lar yetarli kichik qilib olinsa teorema shartlari bajariladi.