Amaliy mashg`ulot №1

Kristall panjaraning energiyasi

3. Kristall panjaraning potensial energiyasi Е_р quyidagi ko`rinishda ifodalanadi:
(23.1)
bu formuladagi birinchi had tortish kuchlariga tegishli had, esa itarishish kuchlariga tegishli. 23.5-rasmda bu hadlarning o`zgarishi va Е_р potensial energiyaning panjaradagi qo`shni zarralar orasidagi r masofaga qarab o`zgarishi yig`indi chiziq orqali tasvirlangan. k<sub>2</sub>>k, bo`lganda, r ning kamayishi bilan itarishish kuchlari tortishish kuchlariga qaraganda tezroq o`sadi, kristallning siqilishga qarshilik ko`rsatishiga sabab ana shudir.

23.5-rasm. Kristall ion panjara Е_р potensial energiyasining ionlar orasidagi r masofaga bog`liq.

Potensial o`raning eng chuqur joyi r=r<sub>0</sub> qiymatga to`g`ri keladi; r<sub>0</sub>-kattalik kristallning tashqi kuchlari ta`sirida bo`lmagan zarralari orasidagi masofani bildiradi. Har bir zarra o`z muvozanat holati atrofida, potensial o`radan chiqib ketmagan holda, bir oz tebranib turishi mumkin.
Kristall panjaralar nazariyasini Born va boshqa fiziklar rivojlantirgan. Born (23.1) formuladagi k<sub>1</sub> va k<sub>2</sub> daraja ko`rsatkichlar ma`lum bo`lganda, kristallarning elastiklik xossalarini, kristallanish energiyasini, uning oltin xossalarini va boshqalarini hisoblash mumkinligini ko`rsatgan. Tajriba ma`lumotlari (23.1) ni mos keltirish uchun,geteropolyar panjaralar uchun k₁=1 va k₂=9 deb olish kerak; gomeopolyar panjaralar uchun k₂ katta qiymatlarga ega bo`ladi.
NaCl tipdagi eng sodda kubik kristall panjaraning energiyasini hisoblash, sxematik ravishda, quyidagicha bajarilishi mumkin. Bir-biridan r<sub>0</sub> uzoqlikda turgan va zaryadlarga ega bo`lgan ikkita xolis ionning potensial energiyasi:
(23.2)
Panjara ichidagi ikki qo`shni ionning potensial energiyasi, quyidagi ikki sababga ko`ra, bu miqdordan katta bo`ladi:
Har bir ionga uning eng yaqin qo`shnisidan tashqari, panjarasining barcha boshqa ionlari ham ta`sir qiladi;
Ionlar bir-biriga ta`sir qilib, itarishish kuchlarini vujudga keltiruvchi o`zaro qutblanish hosil qiladi.
[(23.1) formuladagi ikkinchi had].
Hisoblashlarning ko`rsatishiga NaCl tipidagi kristall uchun (23.2) formula quyidagi ifoda bilan almashitirilishi kerak:
(23.3)
(23.3) formula bilan ifodalangan potensial energiya, son jihatdan, ikki qo`shni ionni panjaradan ajratib olib, ularni cheksiz uzoqlashtirish uchun bajariladigan ishga teng, boshqacha aytganda, u potensial energiya panjaradagi ikki qo`shni ionlar orasidagi bog`lanishni uzish uchun bajariladigan ishga teng.
S`Hu panjarani tashkil qiluvchi moddaning bir molida N juft ion bor va kubik panjaradagi har bir ion 6 ta qo`shni ionga egadir. Shunday qilib, bir molni tashkil qiluvchi barcha ionlarni bir-biridan cheksiz katta masofaga uzoqlashtirish uchun 6N bog`lanishini uzish kerak. Bundan panjaraning bir molga mos keluvchi to`la potensial energiyasi
(23.4)
Kubik panjaradagi qo`shni ionlar orasidagi r₀ masofani quyidagicha aniqlaymiz; agar tekshirilayotgan kristallning zichligi , molekulyar og`irligi  va bir molining hajmi V<sub>0</sub> bo`lsa, u holda:

Har bir elementar kubik yacheykaga to`g`ri keladigan hajmini esa V₀ bir moldagi yacheykalar soniga bo`lib topamiz; yacheykalarning soni bir moldagi ionlar soniga, ya`ni 2N ga teng bo`ladi.
S`huning uchun

bundan

Bu qiymatni potensial energiyaning (23.4) ifodasiga qo`yamiz:
(23.5)
е va  konstantalar bo`lgani uchun, oxirgi ifoda
(23.6)
ko`rinishida yozilishi mumkin. Agar  ni g/sm<sup>3</sup> larda,  ni g/mol larda va Е<sub>р</sub> ni kal/mol larda ifodalasak, K ning son qiymati 545 ga teng bo`ladi.
CsCl yoki CaF₂ tipidagi kristall panajaralari uchun ham (23.6) ga o`xshash formula kelib chiqadi, faqat K konstantaning son qiymati boshqacha bo`ladi.
Yunoncha "simmetriya" rus tiliga tarjima qilinganda "nisbat" degan ma'noni anglatadi. Umuman olganda, simmetriyani figuraning uning qismlarini tabiiy ravishda takrorlash qobiliyati sifatida aniqlash mumkin. Simmetriya g'oyasi kundalik hayotda keng tarqalgan. Nosimmetrik, masalan, gul tojlari, kelebek qanotlari, qor yulduzlari. Insoniyat uzoq vaqt davomida simmetriya tushunchasidan foydalanib, uni o'z faoliyatining turli sohalarida qo'llagan. Biroq, simmetriya ta'limotining matematik rivojlanishi faqat XX asrning ikkinchi yarmida amalga oshirildi.XIX asr.
Nosimmetrik raqam muntazam takrorlashdan iborat bo'lishi kerak teng qismlar. Shuning uchun nosimmetrik raqamlar g'oyasi teng qismlar tushunchasiga asoslanadi.
"Ikkita raqam o'zaro teng deb ataladi, agar bitta figuraning har bir nuqtasi uchun boshqa raqamning mos nuqtasi bo'lsa va bir figuraning istalgan ikkita nuqtasi orasidagi masofa boshqasining ikkita mos keladigan nuqtasi orasidagi masofaga teng bo'lsa."
Ko'ra raqamlar tengligi tushunchasi bu ta'rif, elementar geometriyada qabul qilingan tegishli tushunchadan ancha kengroqdir. Elementar geometriyada bunday raqamlar odatda teng deb ataladi, ular bir-birining ustiga qo'yilganda ularning barcha nuqtalariga to'g'ri keladi. Kristallografiyada nafaqat bunday mos - teng figuralar, balki ob'ekt va uning oyna tasviri sifatida bir-biriga bog'liq bo'lgan raqamlar ham teng deb hisoblanadi.
Hozirgacha bu haqda gapirilgan geometrik shakllar. Kristallarga murojaat qilsak, ular haqiqiy jismlar ekanligini va ularning teng qismlari nafaqat geometrik jihatdan teng, balki jismoniy jihatdan ham bir xil bo'lishi kerakligini yodda tutishimiz kerak.
Umuman olganda, kristallar odatda tabiiy yoki laboratoriya sharoitida polihedra shaklida hosil bo'lgan qattiq jismlar deb ataladi.


Kristallarning simmetriyasi eng ko'p umumiy naqsh kristall moddaning tuzilishi va xususiyatlari bilan bog'liq. Bu fizika va umuman tabiatshunoslikning umumlashtiruvchi fundamental tushunchalaridan biridir. E.S. tomonidan berilgan simmetriya ta'rifiga ko'ra. Fedorov, "simmetriya - bu geometrik figuralarning o'z qismlarini takrorlash xususiyati, aniqrog'i, ularning turli pozitsiyalarda asl holatiga mos kelishi". Shunday qilib, bunday ob'ekt nosimmetrik bo'lib, u o'zi bilan ma'lum transformatsiyalar bilan birlashtirilishi mumkin: simmetriya o'qlari atrofida aylanishlar yoki simmetriya tekisliklarida aks ettirish. Bunday transformatsiyalar deyiladi nosimmetrik operatsiyalar. Simmetriya o'zgarishidan so'ng, ob'ektning bir joyda bo'lgan qismlari boshqa joyda joylashgan qismlari bilan bir xil bo'ladi, ya'ni simmetrik ob'ektda teng qismlar (mos keluvchi va aks ettirilgan) mavjud. Kristallarning ichki atom tuzilishi uch o'lchovli davriydir, ya'ni u kristall panjara sifatida tasvirlangan. Kristalning tashqi ko'rinishining simmetriyasi (faceting) uning ichki atom tuzilishining simmetriyasi bilan belgilanadi, bu kristallning fizik xususiyatlarining simmetriyasini ham belgilaydi.
Kristallar har xil prizma shaklini olishi mumkin, ularning asosi muntazam uchburchak, kvadrat, parallelogramm va olti burchakli. Kristallarni tasniflash va ularning fizik xossalarini tushuntirish faqat birlik hujayraning shakliga emas, balki simmetriyaning boshqa turlariga, masalan, o'q atrofida aylanishga asoslanishi mumkin. Simmetriya o'qi to'g'ri chiziq deb ataladi, 360 ° ga aylantirilganda, kristal (uning panjarasi) o'zi bilan bir necha marta birlashtiriladi. Ushbu kombinatsiyalar soni deyiladi simmetriya o'qining tartibi. 2, 3, 4 va 6 tartibli simmetriya o'qlari bo'lgan kristall panjaralar mavjud. Simmetriya tekisligiga nisbatan kristall panjaraning simmetriyasi, shuningdek kombinatsiyalar mumkin. turli xil turlari simmetriya.
Rus olimi E.S. Fedorov 230 xil kosmik guruhlar tabiatda mavjud bo'lgan barcha mumkin bo'lgan kristall tuzilmalarni qamrab olishini aniqladi. Evgraf Stepanovich Fedorov (1853 yil 22 dekabr - 1919 yil 21 may) - rus kristallografi, mineralog, matematik. E.S.ning eng katta yutug'i. Fedorov - 1890 yilda barcha mumkin bo'lgan kosmik guruhlarning qat'iy chiqarilishi. Shunday qilib, Fedorov kristall tuzilmalarning barcha xilma-xilligining simmetriyalarini tasvirlab berdi. Shu bilan birga, u haqiqatda antik davrdan beri ma'lum bo'lgan nosimmetrik raqamlar muammosini hal qildi. Bundan tashqari, Evgraf Stepanovich kristallografik o'lchovlar uchun universal qurilma - Fedorov stolini yaratdi.

Simmetriya elementlari yordamchi geometrik tasvirlar (nuqtalar, chiziqlar, tekisliklar) deb ataladi, ular yordamida figuralarning simmetriyasi aniqlanadi.Inversiya markazi deyiladi yagona nuqta figuraning ichida, uning har ikki tomonida va teng masofada o'tkazilgan har qanday to'g'ri chiziq figuraning bir xil (mos keladigan) nuqtalariga to'g'ri kelishi bilan tavsiflanadi. Geometriyadagi bunday nuqta simmetriya markazi deb ataladi.Simmetriya tekisligi - bu figurani ob'ekt va uning oyna tasviri sifatida bir-biriga nisbatan joylashgan ikkita ko'zgu teng qismga ajratadigan tekislik.Simmetriya o'qi to'g'ri chiziq bo'lib, uning atrofida shaklning teng qismlari bir necha marta takrorlanadi.