«Amaliyot ishi» 5330300 – Axborot xavfsizligi

1.2. Halqa. Ta’rif va umumiy xossalar

3.18-ta’rif. Biror G-to‘plamda ikkita “+” - qo‘shish va “*” - ko‘paytirish binar amallar (munosabatlar) aniqlangan bo‘lib, quyidagi:

1. 
   G-to‘plam additiv Abel gruppasini tashkil etadi;
   
2. 
   ko‘paytirish amali assosiativ, ya’ni ₌a, b, c G bo‘lgan elementlar uchun ushbu
   

a(bc) = (ab)c munosabat o‘rinli;

3. 
   distributivlik qonuni o‘rinli, ya’ni ₌a, b, c G bo‘lgan elementlar uchun ushbu a (b+c) = ab+ac va (a+b) c = ac+bc munosabatlar o‘rinli shartlari bajarilgan bo‘lsa, bu <G, +, *> - algebraik tuzilma halqa tashkil etadi deyiladi. Bitta (tegishli xossalarga ega bo‘lgan) amal aniqlangan gruppa tashkil
   

etuvchi to‘plamdan farqli ravishda halqa tashkil etuvchi to‘plamda uning ta’rifida keltirilgan xossalarga ega bo‘lgan ikkita amal aniqlangan.
3.19-ta’rif. Halqa birlik elementli deyiladi, agarda multiplikativ birlik
elementga ega bo‘lsa, ya’ni shunday element 1 G majud bo‘lsaki, uning uchun ushbu a1=1a=a munosabat ₌a G elementda bajariladi.
3.20-ta’rif. Halqa kommutativ deyiladi, agarda ko‘paytirish amali kommutativlik xossasiga ega bo‘lsa.
3.21-ta’rif. Halqa butun yoki butun sohali deyiladi, agarda u e _ 0-birlik elementli kommutativ halqa tashkil etib, a, b G elementlar uchun
ab=0 munosabatdan a=0 yoki b=0 kelib chiqsa.
3.22-ta’rif. G – ixtiyoriy halqa bo‘lsin. Shunday natural son p {1,2,3,…} mavjud bo‘lsaki, har bir element g G uchun pg = 0 bajarilsa, u holda eng kichik shunday p-son G-halqaning xarakteristikasi deyiladi. Agarda shunday natural son mavjud bo‘lmasa, u holda halqa 0 (nol) xarakteristikaga ega deyiladi. Halqaning tartibi shu halqaning additiv gruppasi tartibi bilan aniqlanib, halqaning elementlari soniga teng.
3.23-ta’rif. Biror G-to‘plamda ikkita “+” - qo‘shish va “*” - ko‘paytirish binar amallar (munosabatlar) aniqlangan bo‘lib, quyidagi:

1. 
   G-to‘plam 0 (nol) birlik elementli additiv Abel gruppasini tashkil etadi;
   
2. 
   G-to‘plamning noldan farqli elementlari 1(bir) birlik elementli
   

multiplikativ Abel gruppasini tashkil etadi; ko‘paytirish amali assosiativ, ya’ni ₌a, b, c G bo‘lgan elementlar uchun ushbu
a(bc) = (ab)c
munosabat o‘rinli;

3. 
   qo‘shish va ko‘paytirish amallari distributivlik qonuni bilan bog‘langan;
   
4. 
   qo‘shish va ko‘paytirish amallari uchun teskari amallar mavjud: ayirish va bo‘lish (nolga bo‘lishdan tashqari) shartlari bajarilgan bo‘lsa bu <G, +, *> - algebraik tuzilma maydon tashkil etadi deyiladi.
   

3.24-ta’rif. Agar maydon tashkil etuvchi to‘plam q-chekli sondagi elementlardan iborat bo‘lsa, u holda maydon chekli maydon yoki Galua maydoni deyiladi va GF(q) yoki F_q deb belgilanadi.
1-tasdiq. Chekli maydon mavjud bo‘lishi uchun maydonning elementlari sonini ifodalovchi q-tub son bo‘lishi yoki tub sonning darajasi q=p^m, bu yerda p - tub son, m - natural son ko‘rinishida ifodalanashi zarur va yetarli. Bunda p - tub son GF(q) - chekli maydonning xarakteristikasi, m soni GF(q) maydonning GF(p) qism maydonga nisbatan darajasi deyiladi hamda m=1 bo‘lsa, oddiy, aks holda kengaytirilgan maydon deyiladi. Agar p - tub son bo‘lmasa, u holda <G, +, *> - algebraik tuzilmada aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari biror n-asosli modul (mod n) bo‘yicha aniqlangan bo‘lsa, hatto noldan farqli elementga bo‘lish har doim ham mumkin bo‘lavermaydi va bu tuzilma maydon tashkil etmay halqa tashkil etadi.
Har qanday maydonning barcha elementlari to‘plami qo‘shish amaliga ko‘ra additiv Abel gruppasini va noldan farqli barcha elementlari to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan multiplikativ siklik gruppa tashkil etadi.
K halqaning quyidagi: a) b) ixtiyoriy va lar uchun ko’paytma I ga tegishli: , shartlarni qanoatlantiruvchi bo’sh bo’lmagan I qismto’plami uning chap (o’ng) ideali deyiladi. K halqaning bir vaqtning o’zida ham chap ham o’ng ideali bo’ladigan qismto’plami halqaning ikki tomonlama ideali deyiladi. Agar K halqada biror M to’plam berilgan bo’lsa M to’plamning hamma elementlarini o’z ichiga olgan eng kichik (o’z ichiga saqlash ma’nosida) (chap, o’ng, ikki tomonlama) ideal M to’plam bilan yaratilgan (mos ravishda chap, o’ng yoki ikki tomonlama) ideal deyiladi va (M) bilan belgilanadi. Bu ideal K halqaning hamma (mos ravishda chap, o’ng yoki ikki tomonlama) ideallari kesishmasidan iborat bo’ladi. Bitta a element bilan yaratilgan ideal bosh ideal deyiladi. a element bilan yaratilgan chap bosh ideal bilan, o’ng bosh ideal bilan, ikki tomonlama bosh ideal esa (a) bilan belgilanadi. Agar K – birli kommutativ halqa bo’lsa, (a) bosh ideal hamma ko’rinishdagi elementlardan iborat bo’ladi, bunda . Har bir ideali bosh ideal bo’lgan birli, nolning bo’luvchilarisiz kommutativ halqa (butunlik sohasi) bosh ideallar halqasi deyiladi. ideal halqaning ikki tomonlama ideali, bo’lsin. Agar bo’lsa a element b element bilan ideal moduli bo’yicha (yoki qisqacha I ideal bo’yicha) taqqoslanadi deydilar va shaklda belgilaydilar. Ideal bo’yicha taqqoslamalrni hadlab qo’shish, ayirish va ko’paytirish mumkin. Xususiy holda , bunda bo’lsa, o’rniga yozadilar va bu holda a son b son bilan modul bo’yicha taqqoslanadi deydilar. {a  b 2 | a,bQ} {a  b 5 | a,bQ} K K m ,..., 1 ; Zkl  Zk  Zl ... , 1 1 s k s k n  p p n  p1 ,..., ps  ... . 1 1 1 s k k p p Z n  Z   Z a,bI  a bI aK iI ai (ia) aiI (iaI) I a l ( ) а r ( ) ka k K I  К a,bK (a  b)I I a  b(modI) K  Z, I  (m) m  0 a  b(mod(m)) a  b(mod m) m 72 halqaning additiv gruppasining qismgruppa bo’yicha qo’shni sinfi ideal moduli bo’yicha (yoki qisqacha ideal bo’yicha) chegirtmalar sinfi deyiladi. halqaning modul bo’yicha hamma chegirtmalar sinflari to’plamida qo’shish va ko’paytirishni quyidagi tengliklar bilan aniqlash mumkin: Bu amallarga nisbatan chegirtmalar sinflari to’plami halqa bo’ladi. Bu halqa halqaning ideal bo’yicha faktor halqasi deyiladi.
Mumkin bo‘lgan har bir q – tartib uchun faqat bitta maydon mavjud, ya’ni barcha q – tartibli chekli maydonlar izomorfdir. Misol uchun, agarda q=p – tub son bo‘lsa, u holda maydonning elementlari 0, 1, ..., (p-1) – sonlar bo‘lib, qo‘shish va ko‘paytirish amallari mod p qo‘shish va ko‘paytirish amallaridan iborat, ya’ni GF(p)=Z/p. Shunday qilib, tub sonli modul bo‘yicha chegirmalar halqasi oddiy maydon tashkil etadi.
2-tasdiq. Ixtiyoriy GF(q) - chekli maydonning noldan farqli elementlari multiplikativ siklik gruppa tashkil etadi.
3.20-ta’rif. Siklik gruppaning pi- yasovchisi (tuzuvchisi, generatori) chekli
maydonning primitiv elementi deyiladi hamda bu maydonning barcha elementlarini quyidagicha ifodalash mumkin:
GF(q)={0, _pi, pi² , …, pi^q2 , pi^q1 , pi =1}.