Analitik mexanika fanidan yozgan

2.3 Erkin kanonik almashtirishlar va Gamilton Yakobi tanglamasi.
Lagranj tenglamalarini va Ganmilton kanonik tenglamalarini tuzayotganda umumlashgan koordinatalarni tanlash ixtiyoriy edi, ya’ni istalgan s-ta shunday o’zaro bog’liq bo’lmagan miqdorlar koordinatalar sifatida tanlanadiki , ular yordamida qaralayotgan dinamik sistemani vaziyati bir qimatli qilib aniqlanadi. Bu holda tenglamalarning yuzaki ko’rinishi tanlangan umumlashgan koordinata sistemasidan bog’liq bo’lmaydi.
Masalan, umumlashgan koordiatalardan yangi umumlashgan koordinatalarga formulalar orqali o`tsak, Lagranj va Gamelton tenglamalarning ko`rinishlari o`zgarmaydi. Bu xil almashtirishla nuqtaviy deyiladi.
Agar
(1)
kanonik tenglamalarda o`zgaruvchi lardan yangi o`zgaruvchilar larga
(2)
formualar yordamida o`tilsa, kanonik tenglamalar umuman o`z shakllarini saqlamaydi. Lekin, o`zgaruvhilarni shunday almashtirishlari mavjudki, ularga o`tganda kanonik tenglamalr o`z shakllarini saqlaydilar. Bu xildagi almashtirishda kanonik deyiladi. Kanonik almashtirishlarning umumiy holida o`zgaruvchilardan o`zgaruvchilarga o`tishda (1) kanonik tenglamalar quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi:

Bu yerda – funksiya yangi o`zgaruvchilar larga keltirilgan va avvalgi H – Gamilton funksiyasi emas.
Kanonik almashtirish jarayonida Gamilon funksiyasi o`zgarmasa, ya’ni bo`lsa, bu xildagi almashtirishlar tamomila kanonik deyiladi.
- Gamilton avvalgi funksiyasi bo`lsin va – yangi Gamlton funksiyasi bo`lsin.

,
bo’ladi, agar

formulani nazarda tutsak va .
Quyidagi ifodani qaraymiz:
(3)
bu yerda
ixtiyoruy funksiya (bajaruvchi funksiya) deyiladi.

Oxirgi ifoda bajariladi, agar quyidagilar o’rinli bo’lsa:

Shuday qilib kerakli almashtirish formulalarini hosil qildik:

Bu almashtirishlaning to’la kanonik ekanligini qaraymiz.
Bo’lganligi tufayli,(4) dan quyidagini hosil qilamiz:

Shynga o`xshash:

[bu amallarga asos:”variatsiya hosilasi hosilaning variatsiyasiga teng ” – ekanligidan foydalanib, quyidagilarni yoza olamiz.], (*)dan

Endi H=H’ bo`lganiga hisobga olib, (3) dan hosil qilamiz:
(4)
Shuning uchun, oxirgi (**) ifodadan quyidagi hosil bo`ladi:
(5)
(1)-kanonik tenglamalar asosida (5) dan hosil qilamiz (faqat chap tomonga e`tibor qilamiz):
(6)
H=H’, demak va (6) – ning asosida yoza olamiz:

Bundan tashqari

(7)va (8) asosida hosil qilamiz:

Ammo bo`lganligi uchun tenglik bajarilishi kerak faqat quyidagi shartlar bajarilganda:
Shunday qilib, ko`rib chiqilgan almahtrishimiz to`la kanonik ekan.