Analitik mexanika fanidan yozgan

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM

VAZIRLIGI

URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI 5140300-MEXANIKA TA’LIM
YO‘NALISHI
191-GURUHI TALABASI KUSHNAZAROV SUHROBNING
ANALITIK MEXANIKA
FANIDAN YOZGAN
KURS ISHI
Mavzu: Erkin kanonik almashtirishlar.
Topshirdi: Qo’chqarova Shirinoy.
Kurs ishi rahbari: ___________________.
Urganch 2021-2022
Reja:
I.Kirish.
II.Asosiy qisim.

1. 
   Kanonik o’zgaruvchilar.
   
2. 
   Gamilton funksiyasi va kononik tenglamalar. Yakobi-Puasson teoremasi
   
3. 
   Erkin kanonik almashtirishlar va Gamilton Yakobi tanglamasi
   

III.Xulosa.
IV.Foydalanilgan adabiyotlar.

I.Kirish.
Ushbu kurs ishi “Erkin kanonik almashtirishlar” mavzusiga bag‘ishlangan bo‘lib, unda kanonik almashinishlar haqida ham batafsil ma’lumotlar berib o‘tilgan.
Mazkur kurs ishining asosiy qismining birinchi bo‘limida Kanonik o’zgaruvchilar haqida bo‘lib va unda Kanonik o’zgaruvchilar to‘liq keltirib o‘tilgan.
Ikkinchi bo‘limida esa Gamilton funksiyasi va kononik tenglamalar. Yakobi-Puasson teoremasi haqida batafsil keltirilgan va ularning kelib chiqishi to‘liq o‘rganilgan.
Uchinchi bo‘limida esa Erkin kanonik almashtirishlar va Gamilton Yakobi tanglamasi bo‘yicha ma’lumotlar batafsil keltirilgan va misollar o‘rganilgan.

II.Asosiy qism
2.1 Kanonik o’zgaruvchilar.
Patensialli kuchlar maydoni uchun golonom sistema xarakat differensial tenglamalari umumlashgan koordinatalar orqali quyidagi ko’rinishga ega.
(1)
Bu yerda
kinetik potensial yoki Logranj funksiyasi deyiladi. (1) tenglamalar s-t ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasidan iborat. S-ta yangi o’zgaruvchilarni kiritamiz.
(2)
(2) dan o’zgaruvchilarning bog’lanishlari larga nisbatan hal bo’ladigan deb faraz qilamiz va (1) tenglamalar sistemasini 2s-ta birinchi tartibli tenglamalar sistemasiga keltirish mumkin:
(3)
Gamilton tomonidan kiritilgan o’zgaruvchilar –umumlashgan impuluslar

aloxida o'rin tutadi, chunki ular yordamida simmetrik ko’rinishda harakat tenglamalarini hosil qilib, material sistema harakatini anilash mumkin bo’ladi.
o’zgaruvchilrni bundan buyon Gamilton o’zgaruvchilar –kanonik o’zgaruvchilar deb ataymiz. (4) chi sistemani -larga nisbatan yechib bo’ladi.
Kinetik energiyani quyidagi ko’inishda yozamiz:
Agar qaralayotgan material sistema stasionar bo’lsa , bo’ladi va
(5)
yani Gamilto'n funksiyasi material sistema to’la mehanik enegiyasiga teng bo’lar ekan.
Misol.
Osish nuqtasi doimiy tezlik bilan radiusli vertikal aylana bo’ylab xarakatlanuvchi , uzunlikga ega bo’lgan matamatik tebrangich uchun Gamilton funksiyasi aniqlansin.
Yechish. Umumlashgan koordinata sifatida ni qabul qilamiz.





Umulashgan kuchlarni topishda bog’lanishlar bir onda to’xttilgan bo’ladi. Va potensial energiya uchun quyidagini qabul qilamiz:

[yordam: Logranj tenglamasida bo’ladi; demak olinganda ham hisob uchun farq qilmaydi.]
Logranj funksiyasi quyidagicha bo’ladi:

(4) chiga asosan hosil qilamiz.

Bu ifodadan ma’lum bo’ladi:

Endi bunga asosan Gamilton funksiyasini tuzamiz
Agar bo’lsa ,

_{energiya integrali bo’ladi., chunki L funksiya t ga bog’liq bo’lmaydi va bog’lanish statsionar hisoblanadi.}
ni H ga qo’yib topamiz:

Misol m masali erkin mtrial nuqta potensiallin kuchlar maydonida xarakat etmoqda. bu hol uchun Gamilton funksiyasi tuzilsin?
Echish . nuqta vaziyati uning uchta bog’liqmas x,y,z koordinatalari bilan aniqlanadi. Nuqta kinetik energiyasi quyidagicha bo’ladi:

Potensial energiyasi esa , yani potensial kuchlar maydonining potensialiga teng bo’ladi. To’la energiya quyidagidan iborat:

H-Gamilton funksiyasini xosil qilish uchun E-ga tezliklar o’rniga impulislarni kiritamiz:



qiymatlarni E-ga qo’yib , H Gamilton funksiyasini aniqlaymiz: