Analitik mexanika fanidan yozgan

2.2 Gamilton funksiyasi va kononik tenglamalar. Yakobi-Puasson teoremasi
funksiya quyidagi argumentlar funksiyasi bo’lib , unda hozircha lar orqali ifodalanmagan. Bu funksiyani variatsiyasi quyidagi bo’ladi:

larga sosan yozamiz shuning uchun ,
(10)
ifodadan -umumlashgan tezliklarni lar orqali aniqlab , qiymatlarini ga qo’yib , H funksiyani argumentlar orqali ifodaini hosil qilamiz.

bu holda (11) ga asosan yoza olamiz (10) va (12) larni taqqoslab xosil qilamiz.


variatsiyalar bog’liqmasligiga asosan hosil qilamiz:

ekanligini nazarda tutib , dan quydagini hosil qilamiz;
,
Demak
(13)
shunday qilib

2s-ta birinchi tartibli tenglamalar sistemasi hosil bo’ldi va bu sistema Gamilton kanonik tenglamalar sistemasi deyiladi.
Agar matrial sistemaga tasir etayotgan kuchlar konservativ bo’lmasa (potensialli bo’lmasa) , Logranj tenglamalari quyidagicha bo’ladi:


bo’lganligi uchun

funksiyani tuzamiz va yuqorida (14) kanonik tenglamalar sistemasiga nisbatan bajarilgan hisob ishlarini bajarsak, u holda quyidagi ko’rinishli kanonik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

lekin
demak
shunga o’xshash
Shuning uchun kanonik tenglamalar ko’rinishi quyidagicha bo’ladi.

Misol. m massali erkin material nuqta potensialli kuchlar maydonida harakat etmoqda. Nuqta vaziyati bog’liqmas x,y,z koordinatalar yodamidaaniqlanadi. Gamilton kanonik tenglamalari tuzilsin.
Echish. Nuqta kinetik va potensial energiyasi , mos ravishda quyidagilar bo’ladi.

qiymatlarni E-ga qo’yib , H Gamilton funksiyasini aniqlaymiz:

x,y,z –umumlashgan koordinatalar; -umumlashgan impulislar ; va m=3 (14) chi Gamilton tenglamalari quyidagicha bo’adi.

Demak,
va shunga o`xshash

yoki
Endi (14) Gamilton tenglamalaridan foydalanamiz:

Shunday qilib, kanonik tenglamalar quyidagilardan iborat bo`ladi:

Puasson qavslari.Yaqobi-Puasson teoremasi.Misollar tahlili.

Gamilton kononik tenglamalardagi

larning Gamilton tenglamasining yechimi bo’la oladigan barcha qiymatlar uchun,qandaydir funksiya o’z qiymatini doim saqlaydigan bo’lsa,u holda Gamilton kononik tenglamalarining integrali deb ataladi.
Masalan, statsionar bog’lanishlar va konservativ kuchlar mavjud bo’lganda,Gamilton funksiyasi o’zgarmas miqdor bo’ladi,
demak

kononik tenglamalarni integrali bo’ladi.
Puasson qavslarining bazi xossalarini qaraymiz. funksiyalar t va q_m,p_m (m=1,s) funksiyalari bo’lsin.Bu funksiyalardan tashkil topgan ifodaga,ya’ni
(1)
Puasson qavslari deyiladi.Quyidagi ko’rinishli funksiyalar

Ustida amallar bajarish uchun Puasson qavslari ko’maklashadi.
(1)chi ifodadan quyidagi xossalar kelib chiqadi.
1)
2)
3) ni topib,keyin differensiallash tartibini t-ni q-ga va t-ni P-ga almashtirsak hosil bo’ladi.
4) dan tashqari,qandaydir funksiya berilgan bo’lsa,(1) asosida yozaolamiz:
.
5) hisoblashlardan so’ng Puasson ayniyatini hosil qilamiz:
(2)
Faraz qilamizki,Gamilton kononik tenglamalar yechimlari funksiya shundayki, tenglik mePeuayyan boshlang’ich shartlar mavjudligida berilgan c qiymati uchun bajariladigan bo’lsin,ya’ni kononik tenglamalarni integrali bo’ladi.Bu tengliklardan hosil qilamiz:

b u yerda
(m=1,S) ekanligi nazarga olib,yoziladi:

Puasson qavslari ifodasidan foydalanib,yozamiz.
(3)
(3) chi ayniyat yordamida ni kononik tenglamalarni integrali ekanligini isbot qilish mumkin,agar f va bu tenglamalar integrallari bo’lsa (bu g’oya Yakobi-Puasson tearemasidan iborat)
Haqiqatdan,f va Gamilton kononik tenglamalarining integrallari bo’lsalar,u holda (3) ga asosan yozaolamiz:
, (4)
Puasson qavslari xossalari asosida,hosil qilamiz;
(*)
(4) dan hosil bo’ladi:

va bundan tashqari quyidagilarni hisobga olib,(*) dan hosil qilamiz:

1 chi xossadan foydalanib,yozaolamiz:
(5)
Demak,hosil bo’lgan (5) chi ifoda (3) chiga o’xshash va (3) ga nisbatan yuritilgan fikrlarga asosan bo’ladi,
ya’ni

kononik tenglamalar integrali bo’ladi.Ana shu isbot etilishi lozim edi.
Misol. Vaqt,umumlashgan tezliklar va umumlashgankoordinaalar funksiyalari bo’lgan berilgan bo’lsin. funksiyalar uchun,quyidagi

Puasson qavslari deyiladi.Quyidagilar isbot etilsin:
1)
2)
3)
Yechilishi.
1)

2)
3) funksiyalar uzluksiz,ikkinchi tartibgacha xususiy hosilalarga ega deb, ni t vaqt bo’yicha differensiallaymiz:
Talabalar hammasi bajarildi-isbotlandi.
Misol. Material nuqta markaziy kuch ta’sirida harakat qilmoqda. Puasson qavslari xossalaridan foydalanib,nuqta harakat kononik tenglamalarining birinchi integrali topilsin.
Yechish. x,y,z dekart koordinatalari Lagranj koordinatalari bo’lsin.Moddiy nuqta harakatining kononik tenglamalari quyidagi ko’rinishda beriladi(yuqordagi masalalardan):

Energetik integrali energiyaning to’la integrali bo’ladi:
.
Agar - yuzalar integralini YOZ va XOZ koordinatalar tekisliklariga proyeksiyalasak,markaziy kuch ta’sirida bo’lgan moddiy nuqta harakat tenglamalarining ikkita skalyar ko’rinishidagi integralni topish mumkin:
,



Uchinchi integral ham XOY tekisligi uchun mavjud bo’lishi kerak. va integrallarga nisbatan Puasson qavslari xossasidan foydalanib,uchinchi integralni topamiz. uchun hisoblashlarni bajaramiz;Puasson qavsini yozamiz:

Shuning uchun,yozamiz:

1 chi,2 chi,3 chi integrallarni,mos ravishda, x,y,z larga ko’paytirib qo’shsak,quyidagini hosil qilamiz:

bu esa markaziy kuch ta’sirida bo’lgan nuqtaning harakat joyi hisoblanadigan o’zgarmas tekislik tenglamasi hisoblanadi.