Analitik mexanikadan boshlang‘ich ma’lumotlar

ANALITIK MEXANIKADAN BOSHLANG‘ICH MA’LUMOTLAR
Reja:
1.Bog’lanishlar va ularning klassifikatsiyasi.
2.Umumlashgan koordinatalar va sistemaning erkinlik darajasi.
3.Nuqta va mexanik sistemaning mumkin bo’lgan ko’chishi.
4.Kuchning mumkin bo’lgan ko’chishdagi elementar ishi. Ideal bog’lanishlar.
5.Umumlashgan kuchlar.
6.Mumkin bo’lgan ko’chish printsipi.
1.Sistema nuqtalarining harakatini ularning harakat qonuniga bog’liq bo’lmagan va oldindan berilgan geometrik yoki kinematik shartlar bilan cheklovchi jismlarga bog’lanishlar yoki analitik bog’lanishlar deyiladi.  ta moddiy nuqtalardan tashkil topgan mexanik sistema nuqtalariga qo’yilgan bog’lanishlarning matematik ifodasi vaqt, sistema nuqtalarining koordinatalari va ularning hosilalariga bog’liq tenglamalar yoki tengsizliklar bilan aniqlanadi
f(x_к, y_к, z_к, x_к, y_к, z_к, t)=0 (13.1)
yoki
f(x_к, y_к, z_к, x_к, y_к, z_к, t)0 (13.2)
Sistema nuqtalariga qo’yilgan bog’lanishlar turiga qarab sistema nuqtalari turlicha harakatda bo’ladi. Bog’lanishlarning turli xillarini ko’rib chiqamiz.
Tenglamalar bilan ifodalanadigan bog’lanishlar bo’shatmaydigan bog’lanishlar, tengsizliklar bilan ifodalanadigan bog’lanishlar bo’shatadigan bog’lanishlar deyiladi.
Agar bog’lanishlar faqat sistema nuqtalarining koordinatalariga chek qo’ysa, bunday bog’lanishlar geometrik bog’lanishlar deyiladi. Geometrik bog’lanishlarning tenglamasi quyidagicha yoziladi
f(x_к, y_к, z_к, t)=0 (13.3)
Agar bog’lanishlar sistema nuqtalarining koordinatalaridan tashqari tezligiga ham chek qo’ysa, ularga kinematik yoki differentsialli bog’lanishlar deyiladi.
Agar bog’lanish tenglamalari integrallanadigan bo’lsa, bog’lanish golonomli bog’lanish, integrallanmaydigan bo’lsa begolonom bog’lanish deyiladi.
Biz faqat golonomli bog’lanishlar qo’yilgan mexanik sistemalarni ko’rib chiqamiz.
Agar bog’lanishning analitik ifodasi vaqtga oshkor ravishda bog’liq bo’lsa unga statsionar bo’lmagan bog’lanish deyiladi. Statsionar bo’lmagan, golonomli va bo’shatmaydigan bog’lanish tenglamalari umumiy holda quyidagicha yoziladi
(x_к, y_к, z_к, t)=0 (13.4)
Misol tariqasida radiusi vaqtga proportsional ravishda ortib boradigan sfera sirtidagi nuqtaning harakat tenglamasini yozish mumkin
(13.5)
Agar bog’lanishning analitik ifodasi vaqtga oshkor ravishda bog’liq bo’lmasa, bunday bog’lanish statsionar bog’lanish deyiladi. Golonomli, statsionar va bo’shatmaydigan bog’lanishlar tenglamasi umumiy holda quyidagicha yoziladi
(x_к, y_к, z_к)=0 (13.6)
Bunga misol qilib (13.5) tenglamani quyidagicha yozish mumkin
(13.7)
2.Agar mexanik sistema n ta moddiy nuqtalardan tashkil topgan bo’lsa uning holatini xyz inertsial hisoblash sistemasiga nisbatan 3N ta x_к, y_к, z_к koordinatalari bilan aniqlash mumkin. Aytaylik mexanik sistemaga
f_s(x_к, y_к, z_к, t)=0, (s=1, 2, ..., l) (13.8)
ko’rinishdagi golonomli, statsionar bo’lmagan, ideal va bo’shatmaydigan bog’lanishlar qo’yilgan bo’lsin. U holda sistemaning 3N ta x_к, y_к, z_к koordinatalari l ta bog’lanish tenglamalarini qanoatlantirganligi tufayli ular erkin bo’la olmaydi. 3N koordinatalardan faqat п=3N - l tasi erkin koordinatalardan iborat bo’ladi. Sistemaning holatini mazkur п ta erkin koordinatalar vositasida, qolgan koordinatalarni esa bog’lanish tenglamalari vositasida aniqlash mumkin. Biroq ko’pincha erkin koordinatalarni bunday tanlash maqsadga muvofiq bo’lmaydi, chunki bu usulda sistemaning holatini aniqlash ancha murakkab bo’ladi. Analitik mexanikada bunday sistemaning holatini bir qiymatli aniqlash uchun umumlashgan koordinatalar deb ataladigan n ta maqsadga muvofiq ravishda tanlab olingan q₁, q₂, ..., q_n erkin parametrlar olinadi. Bunday koordinatalar uchun uzunlik yoki burchak kattaliklari o’lchoviga ega bo’lgan parametrlarni olish mumkin. Ko’pincha bunday koordinatalar uchun qutb koordinatalari, silindrik yoki sferik koordinatalar olinadi. Umumlashgan koordinatalar q_i bilan belgilanadi. Masalan, qo’zg’almas o’q atrofida aylanuvchi jismning holatini aniqlashda silindrik koordinata sifatida aylanish burchagi  ni (q=), sferik harakatdagi jism uchun esa Eyler burchaklarini (q₁=, q₂=, q₃=) olish mumkin. Umumiy holda tekis parallel harakat qilayotgan jismning holatini aniqlash uchun qutb koordinatalari va bitta aylanish burchagini olish mumkin (q₁=х_с, q₂=у_с, q₃=). Aytaylik mexanik sistemaning holati п ta q₁, q₂, ..., q_n umumlashgan koordinatalar vositasida aniqlansin. Bunday sistemaning har bir nuqtasi holatini uning radius vektori larni umumlashgan koordinatalar va vaqtning funktsiyasi sifatida ifodalash mumkin
(13.9)
Umumlashgan koordinatalarning afzalligi shundan iboratki, bu koordinatalar erkin bo’lish bilan birga ularni kiritish natijasida golonomli bog’lanishlarni e‘tiborga olish zaruriyati tug’ilmaydi. Chunki umumlashgan koordinatalarni tanlash jarayonida bog’lanish tenglamalari avtomatik tarzda qanoatlantiriladi. Yuqorida ko’rganimizdek mumkin bo’lgan erkin ko’chishlar soniga sistemaning erkinlik darajasi deyiladi. Demak, golonomli bog’lanishlar qo’yilgan sistemaning erkinlik darajasi erkin koordinatalar soniga teng bo’ladi. SHu sababli erkin moddiy nuqtaning erkinlik darajasi 3 ga teng, sirt bo’ylab harakatlanayotgan nuqtaning erkinlik darajasi 2 ga teng. Agar nuqta egri chiziq bo’ylab harakatlansa, egri chiziqni 2 ta sirtning kesishgan chizig’i deb qarash mumkin bo’ladi va bunday nuqtaning erkinlik darajasi 1 ga teng bo’ladi.
(13.9) ga ko’ra sistema nuqtalarining dt vaqt ichidagi haqiqiy ko’chishi dr_k quyidagicha aniqlanadi
(13.10)
Ma‘lumki mumkin bo’lgan ko’chishni aniqlashda bog’lanish tenglamasida vaqt o’zgarmas deb qaraladi. Shu sababli (13.9) yordamida mumkin bo’lgan ko’chishni hi-
soblashda t=0 deb olinadi, ya‘ni
(13.11)
3.Nuqtaga qo’yilgan bog’lanishni qanoatlantirgan holda nuqtaning berilgan onda tasavvur qilinadigan cheksiz kichik ko’chishi nuqtaning mumkin bo’lgan ko’chishi deyiladi. Uni r bilan belgilanadi.
Agar nuqtaga statsionar bo’lmagan f(x, y, z, t) bog’lanish qo’yilgan bo’lsa, u holda nuqtaning mumkin bo’lgan ko’chishi vaqtning berilgan paytidagi aniq qayd qilingan qiymati uchun hisoblanadi, ya‘ni bunda t=0 deb qaraladi.
Bog’lanishni qanoatlantirgan holda nuqtaning fazoda dt vaqt ichida elementar ko’chishi haqiqiy ko’chish deyiladi. Agar nuqtaga golonomli statsionar f(x, y, z) bog’lanish qo’yilgan bo’lsa, u holda M nuqtaning dt vaqt ichidagi haqiqiy ko’chishi shu paytda traektoriyaga urinma bo’yicha yo’naladi (rasm 13.1). Nuqtaning haqiqiy ko’chishi nuq-taga ta‘sir etuvchi kuchlarga, unga qo’yilgan bog’lanishga va bosh-lang’ich shartlarga bog’liq bo’ladi. Agar nuqtaga statsionar bog’la-nish qo’yilgan bo’lsa, u holda nuqtaning har bir haqiqiy ko’chishi birorta mumkin bo’lgan ko’chish bilan ustma-ust tushadi. Nuqta-ning har bir mumkin bo’lgan ko’chishini golonom bog’lanish bilan ifodalangan sirtga nisbatan nuqtaning nisbiy ko’chishi deb qarash mumkin. Agar bog’lanish statsionar bo’lsa, ya‘ni sirt geometrik shaklini o’zgartirmasa va fazoda ko’chmasa, sirt ustidagi nuqta ko’chirma harakatda qatnashmaydi va nuqtaning barcha mumkin
Rasm 13.1. bo’lgan ko’chishlari absolyut ko’chishlardan iborat bo’ladi. Demak, kuchlar ta‘siridagi nuqtaning istalgan haqiqiy ko’chishi shu nuqtaning biror mumkin bo’lgan ko’chishi bilan ustma-ust tu-shadi.
Statsionar bo’lmagan bog’lanishlar qo’yilgan nuqtaning haqiqiy ko’chishi birorta ham mumkin bo’lmagan ko’chish bilan ustma-ust tushmasligi mumkin. Bu holda nuqtaning haqiqiy ko’chishi uning nisbiy ko’chishi bilan sirtning ko’chishi yoki defor-matsiyalanishi natijasida hosil bo’ladigan qo’shimcha ko’chishning geometrik yig’indisiga teng bo’ladi (rasm 13.2)
Rasm 13.2. .
Mexanik sistema nuqtalarining mumkin bo’lgan ko’chishlari to’plami sistemaning mumkin bo’lgan ko’chishi deyiladi.
Nuqtaning mumkin bo’lgan ko’chishi bilan haqiqiy ko’chishi orasida o’rnatilgan munosabatlar sistema nuqtalarining ko’chishiga ham taalluqli bo’ladi. Agar sistema M_k nuqtasining radius-vektorini va koordinatalarini x_k, y_k, z_k bilan belgilasak M_k nuqtaning mumkin bo’lgan ko’chishi quyidagi vektor tenglama bilan ifodalanadi . Bunda x_k, y_k, z_k lar mumkin bo’lgan ko’chishing Oxyz inertsial sistema koordinata o’qlaridagi proektsiyalarini ifodalaydi va koordinatalarning variatsiyalari deyiladi.
M_k nuqtaning haqiqiy ko’chishi quyidagi vektor tenglama bilan ifodalanadi . Bunda dx_k, dy_k, dz_k lar koordinatalarning differentsialini ifodalaydi.
Sistemaning holati umumlashgan koordinatalar orqali ifodalanganda sistemaning mumkin bo’lgan ko’chishlarini ham umumlashgan koordinatalarning variatsiyalari orqali ifodalash mumkin.
Yuqorida ko’rganimizdek, sistemaning mumkin bo’lgan ko’chishini aniqlashda bog’lanish tenglamasida vaqtni o’zgarmas deb qarash kerak. Shuning uchun mumkin bo’lgan ko’chishni aniqlashda t=0 deb olinadi. U holda Dekart koordinatalarining variatsiyalari x_k, y_k, z_k va mumkin bo’lgan ko’chish uchun xuddi ko’p o’zgaruvchili funktsiyaning to’liq differentsialiga o’xshash quyidagi formulalar o’rinli bo’ladi
(13.12)
Bunda q₁, q₂, …, q_n lar umumlashgan koordinatalarning variatsiyalarini ifodalaydi.
Sistemaning haqiqiy ko’chishi qaralayotganda (13.9) da t o’zgaruvchi miqdor deb olinadi va u quyidagi ko’rinishni oladi
(13.13)
Ushbu tenglikni dt ga bo’lib, sistema ixtiyoriy nuqtasining tezligini umumlashgan koordinatalar orqali ifodalash mumkin, ya‘ni
(13.14)
bunda -umumlashgan tezlik va
(13.15)


4.Nuqtaga ta‘sir etuvchi F kuchning r mumkin bo’lgan ko’chishdagi elementar ishini А bilan belgilasak, elementar ish hisoblanadigan formulalarga asosan quyidagi munosabat o’rinli bo’ladi
А= Fr= F_хх+ F_уу+ F_zz (13.16)
Xuddi shuningdek N ta moddiy nuqtadan tashkil topgan mexanik sistema nuqtalariga ta‘sir etuvchi kuchlarning sistemaning mumkin bo’lgan ko’chishidagi elementar ishi quyidagi formula yordamida hisoblanadi
(13.17)
Sistema nuqtalariga qo’yilgan bog’lanish reaktsiya kuchlarini R_к bilan belgilaymiz. Agar sistema nuqtalariga qo’yilgan bog’lanish reaktsiya kuchlarining sistemaning har qanday ko’chishidagi elementar ishlari yig’indisi nolga teng bo’lsa, bunday bog’lanishlar ideal bog’lanishlar deyiladi. Ideal bog’lanishlar uchun quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi
(13.18)
a )аbsolyut qattiq jism nuqtalari orasidagi bog’lanishni ideal bog’lanishdan iborat deb qarash mumkin. Bu holda bog’lanish reaktsiya kuchlari ichki kuchlardan iborat bo’ladi va ichki kuchlarning har qanday mumkin bo’lgan ko’chishdagi elementar ishlarining yig’indisi nolga teng bo’ladi.
b)sistema mahkamlangan nuqtalarining har biri ideal bog’lanishdan iborat bo’ladi, chunki bu nuqtalarning mumkin bo’lgan ko’chishi nolga teng.
с)absolyut qattiq jism boshqa qattiq jism ustida sirpanmasdan dumalasa, bunday bog’lanish ham ideal bog’lanishdan iborat bo’ladi. Haqiqatan ham bu holda dumalashdagi ishqalanish mavjud bo’lmaydi. Ab-solyut silliq bo’lmagan sirtning reaktsiya kuchi R qo’yilgan С nuqtaning mumkin bo’lgan ko’chishi r_с=0 bo’ladi. Shu sababli R kuchning mumkin bo’lgan ko’chishdagi ishi А=Rr_с=0 bo’ladi va ta‘rifga ko’ra bunday bog’lanish
Rasm 13.3. ideal bog’lanishdan iborat bo’ladi (rasm 13.3).
5.(13.11) ni nazarda tutib (13.17) ni quyidagicha yozish mumkin

yoki yig’indilarning tartibini almashtirsak quyidagi tenglik hosil bo’ladi

Agar quyidagi belgilashni kiritsak
(13.19)
yuqoridagi tenglik quyidagi ko’rinishga keladi
(13.20)