Andijon davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo’nalishi 2M2 –guruh talabasi Solmonjonova Hidoyatning fanidan tayyorlagan mustaqil ishi

Andijon davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo’nalishi 2M2 –guruh talabasi Solmonjonova Hidoyatning “Nazariy mehanika” fanidan tayyorlagan mustaqil ishi

Mavzu:Umumlashgan koordinatalar.Umumlashgan kuch.

Ma’lumki, erksiz mexanik sistema nuqtalarining ko`chishi ixtiyoriy bo`lmay, biror sabab bilan chegaralangan. Bu shuni ko`rsatadiki, sistema nuqtalarining hamma koordinatalari erkin ravishda o`zgara olmaydi; bunday koordinatalar erksiz koordinatalar deb ataladi. Bu holda sistema holati uning erkin koordinatalarining holati orqali aniqlanadi. Erksiz koordinatalar esa bog`lanish tenglamasidan topiladi.

Faraz qilaylik, sistema nuqtalardan tashkil topgan bo`lib, unga s ta golonom bog`lanish qo`yilgan:

Demak, sistema nuqtalarining 3n ta koordinatalari orasida s ta bog`lanish bor, ya’ni s ta koordinata erksiz. Sistema nuqtalarining erkin koordinatalar soni esa ta koordinata orqali aniqlanadi. Golonom bog`lanishdagi sistema holatini bir qiymatli aniqlovchi , bir-biriga bog`liq bo`lmagan parametrlar soni sistemaning erkinlik darajasi deyiladi. Masalan, 198-rasmda tasvirlangan krivoship-shatun mexanizmini olsak, uning holatini yoki yoki orqali aniqlash mumkin. Agar mexanizmning holati orqali aniqlansa, va lar (109.5) tenglamadan topiladi. Mexanizm holatini aniqlovchi parametr deb OA krivoship burilish burchagi ni ham olish mumkin. Demak, bu mexanizmning erkinlik darajasi birga teng.

•  

Sistemaning fazodagi holatini bir qiymatli aniqlaydigan bir-biriga bo`g`liq bo`lmagan parametrlar umumlashgan koordinatalar deyiladi va ular bilan belgilanadi. Shuni ta’kidlash kerakki, umumlashgan koordinatalarning o`lchov birligi turlicha ( masalan, metr, radian, ) tanlanadi. 198- rasmda tasvirlangan krivoship mexanizmi holatini bitta umumlashgan koordinata orqali aniqlash mumkin.

Sistemaning fazodagi holatini bir qiymatli aniqlaydigan bir-biriga bo`g`liq bo`lmagan parametrlar umumlashgan koordinatalar deyiladi va ular bilan belgilanadi. Shuni ta’kidlash kerakki, umumlashgan koordinatalarning o`lchov birligi turlicha ( masalan, metr, radian, ) tanlanadi. 198- rasmda tasvirlangan krivoship mexanizmi holatini bitta umumlashgan koordinata orqali aniqlash mumkin.

Demak, golonom bog`lanishdagi sistemaning erkinlik darajasi uning umumlashgan koordinatalari soniga teng bo`ladi. Biz faqat golonom bog`lanishdagi sistemani ko`rib chiqamiz.

Agar sistemaga ta begolonom bog`lanish qo`yilgan bo`lsa, uning umumlashgan koordinatalari orasida ma’lum munosabat bo`ladi. Bunday sistemaning erkinlik darajasi ta bo`ladi.

Faraz qilaylik, golonom statsionar bog`lanishdagi mexanik sistema n ta nuqtadan tashkil topgan bo`lib, uning erkinlik darajasi k ga teng bo`lsin. Bu golonom sistemaning umumlashgan koordinatalarini desak, tekshirayotgan sistema nuqtalarining radius-vektorlari yoki Dekart o`qlaridagi koordinatalarini umumlashgan koordinatalar orqali quyidagicha ifodalash mumkin:

•  

Golonom mexanik sistemaning harakat tenglamalarini umumlashgan koordinatalar orqali quyidagicha yozish mumkin:

Umumlashgan koordinatadan vaqt bo`yicha olingan birinchi tartibli hosila umumlashgan tezlik,ikkinchi tartibli hosila esa umumlashgan tezlanish deyiladi va ular quyidagicha yoziladi:

•  

Golonom mexanik sistemaning harakat tenglamalarini umumlashgan koordinatalar orqali quyidagicha yozish mumkin:

Golonom mexanik sistemaning harakat tenglamalarini umumlashgan koordinatalar orqali quyidagicha yozish mumkin:

Umumlashgan koordinatadan vaqt bo`yicha olingan birinchi tartibli hosila umumlashgan tezlik,ikkinchi tartibli hosila esa umumlashgan tezlanish deyiladi va ular quyidagicha yoziladi:

Umumlashgan tezlikning o`lchov birligi umumlashgan koordinata o`lchov birligining vaqt birligi nisbatiga teng.

Umumlashgan kuch

Ma’lumki,sistemaga qo`yilgan kuchlarning sistema mumkin bo`lgan ko`chishlaridagi ishlarini yig`indisi formuladan aniqlanadi. ifodada (110.1) ni nazarda tutsak, Sistema nuqtasining mumkin bo`lgan ko`chishi δ νr r umumlashgan koordinatalar orqali quyidagicha yoziladi:

(112.1) ni (111.1) ga qo`yamiz:

Quyidagicha belgilash kiritamiz:
(112.3) belgilashga ko`ra (112.2) ifoda
ko`rinishni oladi.
(112.3) tenglik bilan aniqlanuvchi ifoda umumlashgan koordinataga mos keluvchi umumlashgan kuch deb ataladi.
Umumlashgan kuchni hisoblashda quyidagi usuldan ham foydalaniladi. Bunda umumlashgan kuchni hisoblash uchun mumkin bo`lgan ko`chishlar shunday tanlanadiki, faqat ga mos kelgan umumlashgan koordinata o`zgaradi,boshqa umumlashgan
koordinatalar bo`yicha mumkin bo`lgan ko`chish nolga teng deb qaraladi va bu ko`chishdagi mumkin bo`lgan ish hisoblanadi.
U holda:
(112.5)
Shuningdek, umumlashgan kuchni analitik usulda quyidagicha hisoblash mumkin:
(112.6)
(112.5) dan ko`ramizki, umumlashgan kuchning o`lchovi ish o`lchov birligining umumlashgan koordinata o`lchov birligiga bo`linganiga teng. Agar umumlashgan koordinata uzunlik birligida o`lchansa,umumlashgan kuch Nuytonda ifodalanadi,umumlashgan koordinata uchun burchak olinsa, umumlashgan kuch birligi
kuch momentining birligi - Nm dan iborat. Sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar potensialli bo`lganda umumlashgan kuch qanday hisoblanishini ko`ramiz. Sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar potensialli bo`lsa,
(112.7)
(110.2) formulaga asosan:
Shuning uchun (112.7) ni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:
(112.8)
(112.4) bilan (112.8) ni taqqoslasak:
yoki
(112.9)
kelib chiqadi.