Аниқ интеграл 1-мавзу. Аниқ интеграл ва унинг асосий хоссалари

Аниқ интеграл

1-мавзу. Аниқ интеграл ва унинг асосий хоссалари

Режа
1. Аниқ интегралга келтириладиган масалалар ҳақида.
2. Аниқ интегралнинг таърифи ва унинг геометрик маъноси.
3. Аниқ интегралнинг асосий хоссалари.
4. Аниқ интегрални ҳисоблаш. Нъютон-Лейбниц формуласи.

1. Аниқ интегралга келтириладиган масалалар ҳақида. Аниқ интеграл математик таҳлилнинг энг асосий амалларидан биридир.

Юзаларни, ёй узунликларини, ҳажмларни, ўзгарувчан кучнинг бажарган ишини ҳамда иқтисоднинг бир қанча масалалари аниқ интегралга келтирилади.
Ўзгарувчан кучнинг бажарган иши масаласи
Масала. Материал нуқта ўзгарувчан куч таъсирида ўқи бўйича ҳаракатланаётган бўлсин. куч таъсирида материал нуқта а нуқтадан в нуқтага ўтганда бажарилган ишни ҳисобланг. куч нинг функцияси бўлади. кесмада узлуксиз бўлсин.
Ечиш: кесмани нуқталар орқали šисмий кесмаларга ажратамиз.

1-чизма.
Механикадан маълумки куч ўзгармас бўлса, бажарилган иш , бунда куч миқдори, l - силжиш узунлиги. Ҳар бир қисмий кесмада биттадан нуқта танлаймиз. Бу нуқталардаги кучнинг қийматини ларни ҳисоблаймиз . Бунда ҳар бир қисмий кесмада бажарилган иш

бўлади. кесмада бажарилган иш тақрибан

бўлади.
деб белгиласак, бажарилган ишнинг аниқ қиймати
= (1)
бўлади.
Шундай қилиб, ўзгарувчан кучнинг бажарган ишини ҳисоблаш учун (1) кўринишдаги чексиз кўп сондаги чексиз кичиклар йиғиндисининг лимитини ҳисоблаш керак экан. Бундай лимитни ҳисоблашга жуда кўп сондаги геометрик, техник, технологик ва иқтисодий жараёнлардаги масалалар келтирилади.
2. Аниқ интегралнинг таърифи ва унинг геометрик маъноси. Юқоридаги масалани умумий ҳолда қараймиз. кесмада узлуксиз функция берилган бўлсин. кесмани қисмий кесмаларга ажратамиз, ҳар бир қисмий кесмада биттадан нуқталар танлаймиз. Бу нуқталарда функция қийматларини ҳисоблаб йиғиндини тузамиз? бу йиғиндига фугкция учун кесмадаги интеграл йиғинди дейилади. белгилаш киритамиз.
Таъриф. интеграл йиғиндининг кесманинг қисмий кесмаларга бўлиниш усулига ва уларда нуқталарнинг танланишига боғлиқ бўлмаган даги чекли лимити мавжуд бўлса, бу лимитга функциянинг кесмадаги аниқ интеграли дейилади ва

символ билан белгиланади.
Таърифга асосан

бўлиб, функция кесмада узлуксиз бўлса, у интегралланувчи яъни бундай функциянинг аниқ интеграли мавжуддир.