Aniq integral Reja Aniq integral tushunchasi Aniq integralning xossalari

2. Aniq integralning xossalari
1- xossa. Har qanday o`zgarmas son uchun quyidagi tenglik o`rinli:

Isboti: funksiyaning dagi integral yig`indisini qaraydik:

Demak, (1) tenglik o`rinli ekan.
2- xossa. O`zgarmas sonni integral belgisi oldiga chiqarish mumkin:

Isboti: funusiyaning dagi integral yig`indisi uchun quyidagi o`rinlidir:

Shuning uchun
Demak, funksiya oraliqda integrallanuvchi bo`lib, (2) formula o`rinli ekan.
3-xossa. Agar va funksiyalar oraliqda integrallanuvchi bo`lsa, ularning algebraik yig`indisi ham shu oraliqda integrallanuvchi bo`ladi, ya`ni:

Isboti:

4-xossa. Agar aniq integralning chegaralari o`zaro almashtirilsa, uning ishorasi qarama –qarshiga o`zgaradi:

Isboti talabalarga havola qilinadi.
5-xossa. Chegaralari o`zaro teng, ya`ni bo`lgan aniq integral nolga teng:

Isboti talabalarga havola qilinadi.
6-xossa. Agar fnksiya da musbat bo`lib, bo`lsa, quyidagi tengsizlik o`rinli bo`ladi:

Isboti: oraliq ixtiyoriy elementar kesmalarga ajratilganda va nuqta da ixtiyoriy tanlanganda va bo`ladi. U holda,

Bundan,
7-xossa. Agar oraliqda bo`lganda bo`lsa,
.
o`rinli bo`ladi.
Isboti: Shartga asosan U holda, uni da integrallaymiz:

3-xossaga asosan
8-xossa. Agar oraliqda bo`lib, va lar funksiyaning shu oraliqdagi eng kichik va eng katta qiymatlari bo`lsa, quyidagi o`rinli bo`ladi:

Isboti: Shartga asosan

Tengsizlikni oraliqda integrallaymiz:

U holda, 2- xossaga va 1- xossaga asosan

9-xossa. (O`rta qiymat haqidagi teorema). Agar funksiya oraliqda uzluksiz bo`lsa, bu oraliqda shunday nuqta mavjud bo`ladiki, uning uchun

tenglik o`rinli bo`ladi.
Isboti: oraliqda va lar funksiyaning eng kichik hamda eng katta qiymatlari bo`lsin. U holda, 8 –xossaga asosan

Bundan, . funksiya uzluksiz bo`lganligi sababli u oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. U holda, dagi va nuqtalar orasida yotadi, ya`ni Bundan

Demak, yoki