Aniq integralni geometriya va mexanikaga tadbiqlari

Aniq integralni geometriya va mexanikaga tadbiqlari .
Reja:

1. 
   Tekis shakl yuzini hisoblash
   
2. 
   Qutb koordinatalar tekisligida berilgan tekis shakl yuzini hisoblash
   
3. 
   Tekisligida parametrik tenglamalar bilan berilgan chiziq bilan chegaralgan tekis shakl yuzini hisoblash.
   

a) Yuqorida egri chiziqli trapetsiyaning yuzini hisoblash uchun

(15)

formulani chiqardik. Bu yerda f(x) [a;b] kesmada uzluksiz va manfiy bo‘lmagan funksiyadir (3 a - rasm).

b) Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz va musbat bo‘lmasa,

(16)

formula egri chiziqli trapetsiya yuzining qiymatini to‘g‘ri beradi (3b-rasm) (agar «-» ishora integral oldiga qo‘yilmasa, yuza qiymati manfiy bo‘lib qoladi).

c) Agar f(x) funksiya [a,b] oraliqda uzluksiz va ishorasini o‘zgartirsa (3с-rasm), u holda egri chiziqli trapetsiya yuzining qiymati uchun

(17)

formula o‘rinlidir.

3 – rasm.

d) Tekis shakl yuqoridan y=f(x) uzluksiz funksiya, quyidan esa y=(x) uzluksiz funksiya grafiklari bilan [a;b] kesmada chegaralangan bo‘lsa, uning yuzi uchun
(18)
formula o‘rinlidir, bu yerda x[a;b], (x)  f(x) (4-rasm).


4-rasm.

e) Agar tekis shakl [a;b] kesmada y=f(x) va y=(x) uzluksiz funksiyalarning garfiklari bilan chegaralangan bo‘lib, ular kesishsa, bu shakl yuzi uchun
(19)
formula o‘rinlidir (5-rasm).

5 –rasm. 6 –rasm.


f) Agar tekis shakl murakkabroq bo‘lib, yuqoridagi hollardan birortasiga ham to‘g‘ri kelmasa, uni bo‘laklarga shunday ajratish kerakki, har bir bo‘lakka yuqoridagi formulalardan biri to‘g‘ri kelsin. Masalan, 6-rasmdagi shaklni qarasak, uni uchta I,II va III bo‘laklarga ajratilsa, 6-rasmdan ko‘rinadiki,
, ,
larni hisoblab, tekis shakl yuzi uchun S=S_I+S_II+S_III ni olamiz.
11-misol. y=3x-x² va y=-x chiziqlar bilan chegaralangah yuza hisoblansin.
Yechish. Ciziqlarning kesishish nuqtalar kordinatalarini topish uchun tenglamalarini sistema qilib yechmiz va : x=0, y=0 ; x=4, y=-4. Bu holda yuza:

> restart;with(plots):
> f2:=x->3*x-x^2: f1:=x->-x:
> plot({f2(x),f1(x)}, x=-2..5, y=-5..3,color=[red,blue], style=line, thickness=2, title=`YUZA`);

> Int(f2(x)-f1(x), x=0..4)=int(f2(x)-f1(x), x=0..4);

12-misol. y=2-x^2 va y³=x² chiziqlar bilan chegaralangah yuza hisoblansin.
Yechish. Ciziqlarning kesishish nuqtalar kordinatalarini topish uchun tenglamalarini sistema

> restart; with(plots):with(Student[Calculus1]):
> f2:=x->2-x^2: f1:=x->(x^2)^(1/3):
> plot({f2(x),f1(x)}, x=-2..2, y=0..2,color=[red,blue], style=line, thickness=2, title=`YUZA`);
Int(f2(x)-f1(x), x=-1..1)=int(f2(x)-f1(x), x=-1..1);




13-misol. chiziqlar bilan chegaralangah yuza hisoblansin.
Yechish. Ciziqlarning kesishish nuqtalar kordinatalarini topish uchun tenglamalarini sistema qilib yechmiz va :
dan x=2, y=4 ; dan x=4, y=8
Bundan hosil bo’lgan yuzaning Ox o’qdagi proyektsiyasi [0,4] da bo’adi. Yuzani hisoblashda uni dan ga o’yish nuqtasining abtsissasi x=2 to’g’ri chiziq bilan ikkiga bolamiz

> restart; with(plots):with(Student[Calculus1]):
> f1:=x->x^2: f2:=x->(x^2)/2: f3:=x->2*x:
> plot({f1(x),f2(x),f3(x)}, x=-0..5, y=0..10, color=[red,blue,green],style=line, thickness=2, title=`YUZA`);



> S1:=Int(f1(x)-f2(x), x=0..2)=int(f1(x)-f2(x), x=0..2);

> S2:=Int(f3(x)-f2(x), x=2..4)=int(f3(x)-f2(x), x=2..4);

> S:=S1+S2;

Qutb koordinatalar tekisligida berilgan tekis shakl yuzini hisoblash.

Qutb koordinatalar sistemasida =f() , [;] uzluksiz funksiya berilgan bo‘lsa, uning grafigi va chetki qutb radiuslari (12.7-rasmda OA va OB lar) bilan chegaralangan shakl egri chiziqli sektor deb ataladi. Xususiy holda =f() grafigi aylana yoyidan (ya’ni =R- o‘zgarmas) iborat bo‘lsa,u doiraviy sektor bo‘ladi.

Bunday egri chiziqli sektor yuzini hisoblash masalasini qo‘yib, [;] kesmani ixtiyoriycha qilib, n ta bo‘laklarga =₀<₁<....<_n= bo‘lib har bir bo‘linish nuqtasining qutb radiuslarini o‘tkazsak, egri chiziqli sektor n ta bo‘laklarga bo‘linadi. Bu bo‘laklardan k-siga mos keluvchi [_k-1; _k] kesmaga tegishli _k ni olib, f(_k) ni hisoblab, bu bo‘lak yuzi S_k ning taqribiy qiymati sifatida radiusi f(_k) ga markaziy burchagi _­k=_k–_k-1 ga teng bo‘lgan doiraviy sektor yuzini qabul qilamiz (7-rasmga qarang). U holda, bu ishni barcha bo‘laklar uchun bajargach, egri chiziqli sektor yuzi S ning taqribiy qiymati uchun

ga ega bo‘lamiz. Bu taqribiy tenglikning o‘ng tomonidagi ifoda funksiyaning [;] kesma bo‘yicha integral yig‘indisi ekanligidan dagi limitga o‘tish natijasida

ni olamiz. Bu egri chiziqli sektorning yuzini hisoblash formulasidir.
14-misol. Qutb koordinatalari sistemasida =|cos| chiziq bilan chegaralangan shakl yuzi hisoblansin (8-rasm).
Yechish. f()=|cos|, =0, =2.

> with(plots):
> implicitplot(r=abs(cos(phi)), r=-1..1, phi =0..2*Pi, coords=polar,thickness=2,title=`Bernuli lyumniskatasi`);



12.8 –rasm.
> restart;
> with(IntegrationTools):
S := Int((cos(phi)^2)/2, phi=0..2*Pi);

> value(%);
> evalf(S,5); 1.5708
15-misol. Qutb koordinatalari sistemasida =a aylana va =2acos3 uch yaproq chiziqlari bilan chegaralangan aylana tashqarisida hosi bo’lgan yuzalarni hisoblang.
Yechish. =2acos3 chiziq T=2π/3 davr bilan [-π, π] da chiziq quriladi. Unda