Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari

2. N`yuton-Leybnis formulasi.
(1) funksiya f(x)ning [a,b] da boshlang`ich funksiyasi bo`ladi. Ma`lumki, f(x) funksiyaning boshqa boshlang`ich funksiyalari F(x) dan faqat o`zgarmas qo`shiluvchi bilan farq qiladi. Shuning uchun, agar F(x) funksiya f(x) uchun boshqa boshlang`ich funksiya bo`lsa, u holda Ф(x)=F(x)+C (2) bo`ladi, bunda C=const. Demak ,
(2) tenglikda x=a deb olib, (3), so`ng x=b deb olib, (4), bo`lishini topamiz.
(3) va (4) tengliklardan (5) bo`lishi kelib chiqadi.
(5) formula N`yuton- Leybnis yoki integral hisobning asosiy formulasi deb yuritiladi.
Odatda Ф(b)-Ф(a) ayirma kabi yoziladi:
Ф(b)-Ф(a)= . Bu belgilashdan foydalanib, N`yuton –Leybnis formulasini (6) korinishda yozish mimkin. (6) tenglik aniq integralni aniqlash integral bilan bog`laydi. Bunda:
1)Berilgan integral ostidagi funksiyaning boshlang`ich funksiyasi topiladi.
2) Boshlang`ich funksiyaga x=b va x=a lar qo`yilib, uning xususiy qiymatlari topiladi (b-integrallashning yuqori, a quyi chegaralaridir).
3) Boshlang`ich funksiyaning xususiy qiymatlari ayirmasi F(b)-F(a) topiladi.
4-misol. integralni hisoblang.
Yechish. Ravshanki, ning boshlang`ich funksiyasi bo`ladi. Unda N`yuton Leybnis (6) formulasidan foydalanib topamiz:
5-misol
6-misol



3. Aniq interegralda o`zgaruvchini almashtiruvchi

Aniq integral N`yuton-Leybnis formulasiga ko`ra aniqmas integralning ikki qiymati orasidagi ayirma ekanligi kelib chiqadi. Aniqmas integralni topishdagi hamma usullar aniq integralni topish uchun ham o`rinlidir.

Funksiyaning aniq integrallarini o`zgaruvchilarini almashtirish usuli yordamida ham hisoblash mumkin. f(x) funksiyaning aniq integrali ni hisoblash maqsadida munosabat bilan x o`zgaruvchini almashtiramiz.
Teorema. f(x) funksiya [a,b] segmentda, funksiya esa segmentda aniqlangan, uzluksiz bo`lib, t o`zgaruvchi da o`zgarganda ning qiymatlari [a,b] ni tashkil etsin.
__Agar funksiya da uzluksiz hosilaga ega bo`lib, 1 ga teng bo`lsa u holda (7) tenglik o`rinli bo`ladi.