Aniq integralning tadbiqlari Reja: Yassi figuralarning yuzini hisoblash Yoy uzunligini hisoblash

M isol: va chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini y
hisoblang.
Y echilishi: Berilganlarga hamda
c hizmalarga asosan barcha lar 0 x
uchun va barcha lar uchun dir. U holda, (3) formulaga asosa:


4) Agar figura kesmada ikkita uzluksiz va funksiyalar, hamda to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan bo`lsa, uning yuzi quyidagi formula yordamida hisoblanadi:
(4)
B unda va dir. y
Misol: va chiziqlar
bilan chegaralangan figuraning yuzini toping.
Yechilishi: Integrallash chegaralarini,
ya`ni va ni berilgan chiziq 0 a b x
tenglamalarini o`zaro tenglashtirib, topamiz:

Bundan, yani U holda, (4) formulaga asosan:

Demak, izlanayotgan figuraning yuzasi dan iborat ekan.
Quyida ba`zi egri chiziqli figuralarning yuzalarini topish formulalarni qaraymiz.

2. Yoy uzunligini hisoblash
egri chiziq kesmada berilgan bo`lib, yassi va uzluksiz bo`lsin. U holda, funksiya shu kesmada uzluksiz hosilaga ega bo`ladi. Egri
chiziqni ta bo`lakka ajratamiz va bo`linish nuqtalarini kesmalar yordamida ketma- ket tutashtiramiz. Natijada, hosil bo`lgan qism yoychalarning har biriga bitta kesmacha mos keladi. Agar egri chiziqni bo`lishni davom ettirsak, qism yoychalarning uzunligiga ularga mos keluvchi kesmalarning uzunligi yaqinlashadi. Funksiya grafigining bo`linish nuqtalaridan o`qiga proyeksiyalar tushiramiz. Undagi har ikki nuqta orasidagi masofalarni lar bilan belgilaymiz. Ixtiyoriy va nuqtalar ordinatalari farqini bilan belgilaymiz. U holda, Pifagor teoremasiga asosan kesmaning uzunligi quyidagicha bo`ladi.
(1)
Hosilaning ta`rifiga asosan: u holda
(2)
Kesmalar hosil qilgan siniq chiziqning uzunligi
(3)
dan iborat bo`ladi. Egri chiziqning uzunligi ni topish uchun (3) ning dagi limitini olish lozim, ya`ni:
. (4)
(4) – integral yig`indidan iborat. Uni integral ko`rinishida ifodalash mumkin:
yoki (5)
(5) formula yassi egri chiziq, ya`ni yoyning uzunligini topish formulasidir.
To`g`ri burchakli koordinatalar sistemasida yoy differensiali quyidagi formula ko`rinishida ifodalanadi:
yoki (6)