Aniq integralning tatbiqlari

Aniq integralning tadbiqlariga oid misollar.

ANIQ INTEGRALNING TATBIQLARI

3.1. Yassi figuralarning yuzlarini hisoblash.

1. 
   Ma’lumki, agar [a; b] kesmada bo’lsa, mazkur funktsiyaning mazkur kesma bo’yicha aniq integrali geometrik jixatdan x=a va x=b to’g’ri chiziqlar,Ox o’qi xamda egri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini ifodalar edi.
   

Agar [a; b] kesmada bo’lsa, mazkur egri chiziqli trapetsiya Ox o’qidan pastda joylashadi va uning yuzi formula orqali hisoblanadi.

Agar egri chiziq, Ox o’qi va x=a, x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figura Ox o’qidan yuqorida va pastda joylashgan bo’lsa, uning yuzi formula bilan hisoblanadi

Agar x=a, x=b to’g’ri chiziqlar, va egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzani hisoblash lozim bo’lsa, uni ushbu formula bilan hisoblanadi.

1-Misol. Tenglamalari yq2x, y=0 va xq3 bo’lgan to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzi hisoblansin.
Echilishi.


2-Misol. y=cosx, y=0 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzi hisoblansin, bunda .


Echilishi.


3-Misol. y=0 va yq-x²+4 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzi hisoblansin.
Echilishi. Bu yerda hisoblanishi lozim bo’lgan yuza yq4-x² parabola bilan Ox o’q orasida joylashgan. Agar y=0 bo’lsa, xq2.


4-Misol. Tenglamalari y=x² va y=2x bo’lgan parabola va to’g’ri chiziq orasida joylashgan yuza hisoblansin.

Echilishi. y=x² va y=2x tenglamalarni birgalikda yechib, parabola bilan to’g’ri chiziqning kesishish nuqtalarining abstsissalari x₁=0 va x₂=2 larni topamiz.

2. 
   a) Agar egri chiziqli trapetsiyaning yuzi x=x(t), y=y(t) kabi parametrik shaklda berilgan egri chiziq, x=a va x=b to’g’ri chiziqlar hamda Ox o’q bilan chegaralangan bo’lsa, u yuza quyidagi formula bilan hisoblanadi:
   

bunda va

b) Agar qutb koordinatlari sistemasida biror uzluksiz egri chiziq o’zining kabi tenglamasi orqali berilgan bo’lsa, u xolda qutb burchaklari hamda egri chiziqning AB yoyi bilan chegaralangan AOB sektor yuzi formula bilan hisoblanadi.




5-Misol. ellips bilan chegaralangan yuza topilsin.

Echish. Ellipsning parametrik tenglamasini yozib olamiz: . U xolda


6-Misol. lemniskata bilan chegaralangan yuza topilsin.
Echish. Izlanayotgan yuzaning to’rtdan bir qismiga burchak mos keladi. SHuning uchun