Aniq va aniqmas integrallar

2. Sоdda kasrlarni intеgrallash
Ushbu ko`rinishdagi funksiyalar sоdda kasr dеyiladi., bunda haqiqiy sonlar bo`lib, kvadratik uchхad haqiqiy ildizga ega emas, ya`ni bo`lganda sоdda kasrlarning intеgrallari lar quyidagicha hisоblanadi.
,
Aytaylik, bo`lsin. Bu holda sоdda kasrlarning intеgrallari
lar quyidagicha hisоblanadi.
,
kеyingi munоsabatdagi
intеgral (6) rеkkurеnt fоrmula yordamida tоpiladi.
Aniqmas integral va uning xossalari.
Ta’rif. Agar F(х) funksiya biror oraliqda f(х) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda F(х)+C (bu yerda C – ixtiyoriy doimiy) funksiyalar to‘plami shu kesmada f(х) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va kabi belgilanadi.
Bu yerda f(х) – integral ostidagi funksiya, f(х)dx integral ostidagi ifoda,
– integral belgisi deyiladi.
Aniqmas integralni topish jarayoni yoki berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini topish jarayoni integrallash deyiladi.
Aniqmas integralning xossalari:
1) Aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga teng, ya’ni
2) Aniqmas integralning differensiali integral belgisi ostidagi ifodaga teng, ya’ni
3) Biror funksiyaning hosilasidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ixtiyoriy o‘zgarmasning yig‘indisiga teng, ya’ni
4) Biror funksiyaning differentsialidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ihtiyoriy o‘zgarmasning yig‘indisiga teng, ya’ni
5) Agar bo’lsa, u holda barcha o’zgarmas lar uchun bo’ladi.Bu yerda - integraldagi yangi o’zgarmas sondir. Bu xossa quyidagichadir: “funktsiyani o’zgarmas songa ko’paytmasining integrali o’zgarmas sonni shu funktsiya integraliga ko’paytmasiga teng”1.
6) Chekli sondagi funksiyalarning algerbaik yig‘indisidan olingan aniqmas integral shu funksiyalarning har biridan olingan aniqmas integrallarning algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni
7) Agar funksiya uchun boshlang‘ich funksiya bo‘lsa, ya’ni
bo‘lsa u holda tenglik to‘g‘ri bo‘ladi, bu yerda x ning differensiallanuvchi funksiyasi. Bu xossa integrallash formulalarining invariantligi deyiladi.
Integrallashning eng asosiy usullarini qarab chiqamiz: yoyish, o‘zgaruvchini almashtirish va bo‘laklab integrallash.
1) Yoyish usuli. Bu usul integral ostidagi funksiyani, har biri jadval integraliga keladigan, bir nechta funksiyalar yig‘indisiga yoyishga asoslanadi.
Jadvalda qatnashmagan integralni hisoblash kerak bo‘lsin. x ni t erkli o‘zgaruvchining biror differensiallanuvchi funksiyasi orqali ifodalaymiz: , bunga teskari funksiyasi mavjud bo‘lsin, u holda va bo‘lib, integral jadvaliga mos keladigan integral hosil qilamiz.
Misollar:
1) ning integralini toping. O’zgaruvchini almashtiramiz: natijada, .
2) ning integralini toping.
belgilash kiritamiz. U holda x-2=t2, x=t2+2, dx=2tdt bo‘ladi.
Natijada,
3) Bo‘laklab integrallash. Integrallash quyidagi
formula yordamida amalga oshiriladi. Bu yerda u, v – differensialla-nuvchi funksiyalar.
Bu formulani qo‘llash uchun, integral ostidagi ifoda ikki qismga ajratiladi va birinchi qismini u, qolgan qismini esa dv deb olinadi, natijada berilgan integralga nisbatan oson integrallanadigan integral hosil bo‘ladi.
Misollar: Integralni toping:
u=lnx, dv=x2dx belgilashlar kiritamiz. U xolda hosil bo‘ladi.
Asosiy adabiyotlar
1. Morris Tenebout, Harry Pollard. Ordinary Differential Equations. Birkhhauzer. Germany, 2010.
2.Robinson J.C. An Introduction to Ordinary Differential Equations. Cambridge University Press 2013.
3. Stepanov V.V. Kurs differensialnix uravneniy.M. KomKniga/ URSS 2006.-472c.
4. Elsgols L.YE. Differensialniye uravneniya ivariatsionnoyeischileniye.M. KomKniga/ URSS 2006.-312c
5. Filippov A.F. Sbornik zadach po differensialnim uravneniyam. Izdatelstvo RXD. 2000. 175 s.