Aniqmas integral. O‘zgaruvchini almashtirib integrallash va bo‘laklab integrallash usullari reja

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI QARSHI FILIALI
Kompyuter injiniringi (Kompyuter injiniringi,
AT-Servis,Axborot xavfsizligi, Multimedia) fakulteti
KI 13-22 (S) GURUH TALABASI
XUJABERDIYEV SARVARning
HISOB fanidan tayyorlagan

MUSTAQIL ISHI

2022_-yil
ANIQMAS INTEGRAL. O‘ZGARUVCHINI ALMASHTIRIB INTEGRALLASH VA BO‘LAKLAB INTEGRALLASH USULLARI
REJA:

1. 
   Aniqmas integral
   
2. 
   O’zgaruvchini almashtirib integrallash
   
3. 
   Bo‘laklab integrallash usullari
   

Aniqmas integralni o’zgaruvchini almashtirish bilan integrallash. Aniqmas integralni bo’laklab integrallash. Kvadrat uchhad qatnashgan integrallarni hisoblash
Aniqmas integralni bevosita hisoblash mumkin bo’lmagan hollarda qo’llash mumkin bo’lgan usullardan biri o’zgaruvchini almashtirish usulidir. Bunda berilgan   integraldagi  o’zgaruvchidan yangi  o’zgaruvchiga biror  funksiya orqali o’tiladi. Bunda  funksiya differensiallanuvchi, hosilasi uzluksiz hamda unga teskari   mavjud deb olinadi. Bu holda


tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglikning o’ng tomonidagi integral hisoblangandan so’ng,  o’zgaruvchi o’rniga  qo’yilib, berilgan integralning javobi olinadi. Berilgan integralni yuqoridagi tenglik yordamida hisoblash o’zgaruvchini almashtirish usuli deyiladi.
Berilgan integralni bevosita hisoblash mumkin bo’lmagan holda qo’llash mumkin bo’lgan usullardan yana biri bo’laklab integrallash usulidir.
Aytaylik,  va  funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar bo’lsin. U holda  bo’lib, undan  ni hosil qilamiz. Bu tenglikning ikkala tomonini hadma-had integrallab  yoki  ni hosil qilamiz. Bunga bo’laklab integrallash formulasi deyiladi. Bu formula hisoblash ancha qiyin bo’lgan  integralni hisoblashni soddaroq bo’lgan  inntegralni hisoblashga olib keladi.
Demak, berilgan  integralni bo’laklab integrallash formulasi orqali hisoblashni quyidagi algoritm (ketma-ketlik) asosida amalga oshirish mumkin:
1) Integral ostidagi ifoda ikki bo’lakka ajratiladi;
2) Hosil bo’lgan bo’laklardan  qatnashganini  , ikkinchisini esa  orqali belgilanadi;
3) Hosil qilingan  differensial bo’yicha biror  boshlang’ich funksiya topiladi. Buning uchun  aniqmas integralni hisoblab, unda ixtiyoriy o’zgarmas son olinadi;
4)  funksiya bo’yicha  differensial topiladi;
5)  integral hisoblanadi;
6)  ni ifodasini bo’laklab integrallash formulasiga qo’yiladi. Bunda  va  ni shunday tanlash kerakki, natijada formuladagi   jadval integrali yoki hisoblanishi osonroq bo’lgan integraldan iborat bo’lsin.
Ba’zi aniqmas integrallarni hisoblashda bo’lakalab integrallash formulasini bir necha marta qo’llashga to’g’ri keladi.
Ba’zi integrallarni hisoblash uchun dastlab bir yoki bir necha marta bo’laklab integrallash orqali ularga nisbatan tenglama hosil qilinib, so’ngra bu tenglamani yechib ko’zlangan maqsadga erishiladi.

ko’rinishdagi integralni kvadrat uchhad qatnashgan integral deyiladi. Uni hisoblash uchun maxrajdagi kvadrat uchhaddan to’la kvadrat ajratiladi. Ya’ni, maxraj


ko’rinishda yoziladi. Bu yerda  deb olingan. Shunday qilib, berilgan integral



ko’rinishga keldi. Bu integralda  ,  almashtirish qilib berilgan integraldan



ni hosil qilamiz. Bu esa integrallar jadvalidagi integraldir. Kvadrat uchhad qatnashgan integrallarning ikkinchi turi



ko’rinishda bo’ladi. Buni hisoblash uchun quyidagi ayniy almashtirishlarni bajaramiz.







oxirgi integral 1-tipdagi integral bo’lib uni hisoblash usuli bizga ma’lum.
Kvadrat uchhad qatnashgan integrallarning yana bir turi


ko’rinishda bo’lib, uni hisoblash uchun maxrajida turgan ildiz ostidagi ifodani almashtirishlar yordamida  yoki  ko’rinishga keltiriladi va natijada jadvaldagi integrallardan biriga keltiriladi.
Kvadrat uchhad qatnashgan integrallarning to’rtinchi turi


ko’rinishda bo’lib, u ikkinchi turdagi intagralni hisoblashda bajarilgan ishlar yordamida hisoblanadi. Ya’ni,


Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1.  integral hisoblansin.
Yechish: =
2.  integral hisoblansin.
Yechish: Bu integralni bevosita hisoblab bo’lmaydi. Shuning uchun o’zgaruvchini almashtiramiz.
Agar  deb olsak, u holda   yoki  bo’ladi. Demak,


.
3.  integral hisoblansin.
Yechish: 




4.  integral hisoblansin.
Yechish: Agar integral ostidagi  ifodani  ,  deb olib bo’laklasak, u holda

,  bo’lib, bo’laklab integrallash
formulasidan



kelib chiqadi. Ammo bunda hosil bo’lgan o’ng tomondagi integral berilgan integralga nisbatan murakkabroq ko’rinishga ega bo’ladi. Demak, bunday bo’laklash maqsadga muvofiq emas. Bundan esa  ,  deb olish kerakligini aniqlaymiz.



5.  integral hisoblansin.
Yechish: