Applied Speech and Audio Processing: With matlab examples

Speech communications
In order to determine the set of LPC coefficients resulting in the minimum mean-
squared error, E in Equation (5.7), we must differentiate the expression and then equate
to zero:
δE
δa
j
= −2


n
x
[n − j]

x
[n] −
P


k
=1
a
k
x
[n − k]

= 0.
(5.8)
This results in a set of linear equations containing P unknowns, a, that can be derived
from the known speech samples x
[n] to x[n − P]:
P


k
=1
a
k


n
x
[n − j]x[n − k] =


n
x
[n]x[n − j],
(5.9)
where j
= 1, . . . , P.
There is of course a choice of methods to solve such a set of equations. Most common
are the covariance and autocorrelation methods. The former splits the speech into rect-
angular windowed frames and minimises the error over each frame of N samples. The
latter assumes that the signal is stationary with finite energy, with an infinite summation
range (which is acceptable if we window the speech before analysis). Covariance tends
to be more accurate for small speech frames, but with the sharp cutoffs of a rectangular
window, can lead to instability. For this reason, most speech coding algorithms opt for
the autocorrelation approach (and hence derive partial correlation coefficients, known
as PARCOR, along the way).
For the infinite summation, we first note that the following relationships hold:
∞


n
=−∞
x
[n − j]x[n − k] ≡
∞


n
=−∞
x
[n − j + 1]x[n − k + 1]
(5.10)
and
∞


n
=−∞
x
[n − j + 1]x[n − k + 1] ≡
∞


n
=−∞
x
[n]x[n + j − k].
(5.11)
Using these equivalence relationships, we re-formulate Equation (5.9) as follows:
P


k
=1
a
k
∞


n
=−∞
x
[n]x[n + j − k] =
∞


n
=−∞
x
[n]x[n − j].
(5.12)
Note the similarity between this and the standard autocorrelation function in
Equation (5.13), where R
(k) denotes the kth autocorrelation:
R
(k) =
∞


n
=−∞
x
[n]x[n + k].
(5.13)

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