Applied Speech and Audio Processing: With matlab examples

Speech communications
P
(z) = A
p
(z) − z
−(P+1)
A
p
(z
−1
)
(5.22)
Q
(z) = A
p
(z) + z
−(P+1)
A
p
(z
−1
).
(5.23)
The roots of these two polynomials are the set of line spectral frequencies,
ω
k
. These
relate to symmetric and antisymmetric polynomials as will be shown later in
Equation (5.25).
The complex roots of the polynomials can be shown to lie on the unit circle in the
z-plane if the original LPC filter was stable [3], and alternate around the unit circle. Note
that any equivalent size set of roots that alternate in this way around and on the unit
circle will represent a stable LPC filter. This is something with implications which we
will exploit for LSP-based speech processing in Chapter 7.
There are many different ways of calculating or estimating roots, including trial and
error, Newton–Raphson approximation, evaluating around the unit circle looking for sign
changes, and so on, with the exact choice of method having implications for accuracy,
processing complexity and processing delay. In Matlab we can simply use the in-built
roots()
function to perform the calculation.
If we denote the set of complex roots as
θ
k
, then the line spectral frequencies are
determined from solving Equations (5.22) and (5.23).
ω
k
= tan
−1
Re
{θ
k
}
Im
{θ
k
}

.
(5.24)
ω
k
are the P line spectral frequencies expressed in radians.
Despite the seemingly complex equations, an example Matlab script for convert-
ing from LPC to LSP is relatively short:
function lsp=lpc_lsp(a)
p=length(a); A(1)=1; B(1)=1;
for k=2:p
A(k)=(a(k) - a(p+2-k)) + A(k-1);
B(k)=(a(k) + a(p+2-k)) - B(k-1);
end
r1=roots(A);
r2=roots(B);
for k=1:p-1
if (real(r1(k)) < 0)
theta1(k)=pi-abs(atan(imag(r1(k))/real(r1(k))));
else
theta1(k)=abs(atan(imag(r1(k))/real(r1(k))));
end
if (real(r2(k)) < 0)
theta2(k)=pi-abs(atan(imag(r2(k))/real(r2(k))));

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